2. séria

Daných je päť bodov $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$, $P_5$ vo vnútri štvorca so stranou dĺžky $1$. Dokážte, že aspoň jedna zo všetkých vzdialeností týchto bodov je menšia ako $\sqrt{2}/2$.

Pre ktoré $n\ge 3$ existuje $n$ navzájom rôznych prirodzených čísel takých, že sa dajú usporiadať do kruhu tak, aby podiel každých dvoch susedných čísel (väčšie delené menším) bol prvočíslo? Nájdite všetky takéto $n$ a ukážte, prečo iné nevyhovujú.

Na tanečnom večierku boli chlapci a dievčatá. Každý chlapec tancoval s aspoň jedným dievčaťom, ale nie so všetkými. Každé dievča tancovalo s aspoň jedným chlapcom, ale nie so všetkými. Dokážte, že sa vždy dajú vybrať dvaja chlapci a dve dievčatá tak, že každý z vybratých chlapcov tancoval s práve jedným z vybratých dievčat a každé z vybratých dievčat tancovalo s práve jedným z vybratých chlapcov.

Daná je kružnica $k$ a jej tetiva $AB$.

Každá strana konvexného štvoruholníka je rozdelená na osem zhodných úsečiek. Spojíme príslušné body na protiľahlých stranách a vznikne šachovnica. Políčka vyfarbíme ako na skutočnej šachovnici. Dokážte, že čierna a biela plocha majú rovnaký obsah.

Nech pre $f:R\to R$ platí $f(0)=1/2$ a zároveň pre nejaké reálne číslo $a$ platí $f(x+y)=f(x)\cdot f(a-y)+f(y)\cdot f(a-x)$ pre všetky reálne $x$, $y$. Dokážte, že $f$ je konštantná funkcia.