1. séria

Rozhodnite, či sa dajú prirodzené čísla rozdeliť na dve skupiny tak, aby v žiadnej z týchto skupín neboli tri čísla, z ktorých jedno je aritmetickým priemerom ostatných dvoch. Svoje tvrdenie zdôvodnite.

Daný je rovnoramenný trojuholník $ABC$. Na základni $AB$ zvolíme bod $X$ a vypočítame súčet vzdialeností bodu $X$ od ramien trojuholníka $ABC$. Ukážte, že hodnota tohto súčtu nezávisí od voľby bodu $X$.

Štvorec $100\times 100$ je rozdelený na $10000$ jednotkových štvorčekov. Do nich sú ľubovoľným spôsobom vpísané všetky celé čísla od $1$ do $10000$ (v každom štvorčeku práve jedno číslo). Dokážte, že existujú dva susedné štvorčeky, do ktorých sú vpísané čísla líšiace sa aspoň o $51$. Štvorčeky považujte za susedné, ak majú spoločnú stranu.

V konvexnom štvoruholníku $ABCD$ sú na strane $BC$ dané body $E$ a $F$ tak, že bod $E$ je bližšie k bodu $B$ ako bod $F$. Navyše platí: $|\sphericalangle BAE|=|\sphericalangle CDF|$ $|\sphericalangle EAF|=|\sphericalangle FDE|$.

Dokážte, že uhly $FAC$ a $EDB$ majú rovnakú veľkosť.

V rovine stojí $2n+1$ tankov, kde $n\in \mathbb{N}$, pričom žiadne dva tanky nie sú rovnako vzdialené. Naraz každý tank vystrelí na k nemu najbližší tank (nie však na seba). Dokážte, že: a) aspoň jeden tank nedostal žiaden zásah; b) dráhy žiadnych dvoch striel sa nekrižovali; c) žiadny tank nezasiahlo viac ako 5 striel.

Nájdite všetky dvojice prvočísel p, q také, že $4^p+1=5^q$.