Okolo okrúhleho stola sedí $2n$ Grékov, z toho polovica Sparťania a polovica Aténčania. Koľko najviac Grékov v závislosti od $n$ môže sedieť vedľa Aténčana?

Series sa hrá s konečnými postupnosťami kladných celých čísel, a to tak, že do nich na ľubovoľné miesto vkladá alebo z ľubovoľného miesta odoberá dve zhodné susediace podpostupnosti. Napríklad z (5, 4) vie vyrobiť (5, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4) a naopak, alebo z (1) vie vyrobiť (1, 1, 1, 1, 1) a naopak. Dokážte, že Series vie z ľubovoľnej konečnej postupnosti spraviť rastúcu.

Prístav je tvaru štvorca $ABCD$. Lumomoros chce postaviť maják v bode $M$ a to tak, aby existoval rovnoramenný pravouhlý trojuholník $AMN$ s pravým uhlom pri vrchole $M$ a bod $N$ ležal na strane $CD$. Nájdite množinu všetkých možných polôh majáku a dokážte, že pre každý bod nájdenej množiny taký trojuholník existuje.

Series má postupnosť reálnych čísel $\{a_n\}_1^\infty$ takú, že $a_1=3$ a $a_{n+1} = a_n(a_n-1) +1$ pre všetky kladné celé čísla $n$. Dokážte, že
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2026^{2026}} < \sum^{2026}_{i=1} \frac{1}{a_i} < \frac{1}{2}.\]

Sparťania majú na mape zvolených 2026 bodov. Zistili, že keď zvolia ľubovoľných 17, je medzi nimi 11 bodov takých, že ich vedia zakryť kruhom s priemerom 1. Aténčania si priniesli kruhy s priemerom 2. Nájdite najmenší počet aténskych kruhov, ktorý vždy stačí na pokrytie všetkých 2026 bodov.

Funkciotos sa hrá s funkciou $f(x)=x^2 - 33x + 19$. Nájdite všetky celé čísla $n \ge 2$, pre ktoré práve jedno z čísel $f(1),f(2),\dots,f(n)$ je deliteľné číslom $n$.

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

Nájdite všetky prvočísla, ktoré sú súčasne súčtom aj rozdielom dvoch vhodných prvočísel.

Dokážte, že v ľubovoľnom desaťcifernom čísle sa dajú cifry premiestniť takým spôsobom, aby súčet prvých päť cifier nového čísla sa líšil od súčtu jeho posledných päť cifier o menej než desať. (Úlohu riešte v desiatkovej sústave.)

Nech $n$ je prirodzené číslo. Dokážte, že čísla $n! + 1$ a $(n + 1)! + 1$ sú nesúdeliteľné. Zápis $n!$ označuje súčin $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n − 1) \cdot n$.

Do políčok tabuľky $2011 \times 2011$ sú vpísané reálne čísla v absolútnej hodnote neprevyšujúce $1$ tak, že v každom políčku je práve jedno číslo. Súčet štyroch čísel v ľubovoľnom štvorci $2 \times 2$ je $0$. Dokážte, že súčet všetkých čísel v tabuľke je nanajvýš $2011$.

Rozhodnite, či existuje konvexný päťuholník, v ktorom žiadna uhlopriečka nie je väčšia ako protiľahlá strana, t. j. strana, ktorá s touto uhlopriečkou nemá žiadny spoločný bod. Svoje tvrdenie zdôvodnite.

Daný je trojuholník $ABC$. Pre bod $P$ ležiaci vnútri trojuholníka $ABC$ označíme $D$, $E$, $F$ päty kolmíc spustených z $P$ na priamky $BC$, $CA$, $AB$ (v tomto poradí). Nájdite všetky polohy bodu $P$, pre ktoré výraz

$$\frac{|BC|}{|PD|} + \frac{|CA|}{|PE|} + \frac{|AB|}{|PF|}$$

nadobúda minimálnu hodnotu.

36. ročník - zimný semester

2. séria

1. ÚLOHA

2. ÚLOHA

3. ÚLOHA

4. ÚLOHA

5. ÚLOHA

6. ÚLOHA