1. séria

Je dané reálne číslo $a>0$ také, že nerovnosť $1<ax<2$ má $3$ celočíselné riešenia (pre neznámu $x$). Pre ktoré čísla $n\in {\mathbb{N}}_0$ sa môže stať, že nerovnosť $2<ax<3$ má práve $n$ celočíselných riešení? Nájdite všetky možnosti.

Trojuholník $ABC$ je vpísaný do kružnice $k$. Označme $D$, $E$, $F$ postupne priesečníky osí uhlov pri vrcholoch $A$, $B$, $C$ s kružnicou $k$. Dokážte, že $AD$ je kolmé na $EF$.

Nech $P$ je polynóm s celočíselnými koeficientami, pre ktorý platí, že $P(0)$ a $P(1)$ sú nepárne. Dokážte, že polynóm $P$ nemá žiaden celočíselný koreň.

Na konci školského roka sa zistilo, že z ľubovoľne zvolenej skupiny aspoň piatich študentov vieme vybrať najviac 20% študentov tejto skupiny, ktorí dostali spolu viac ako 80% známok F v tejto skupine. Dokážte, že aspoň 3/4 všetkých známok F dostal jeden študent.

Označme v trojuholníku $ABC$ ortocentrum $H$, stred vpísanej kružnice $I$, stred opísanej kružnice $O$. Ďalej označme $K$ bod dotyku vpísanej kružnice a strany $BC$. Dokážte, že ak priamka $IO$ je rovnobežná s priamkou $BC$, tak priamka $AO$ je rovnobežná s priamkou $HK$.

Nekonečnú postupnosť prirodzených čísel nazveme Šupapostupnosťou, ak pre každý člen počnúc tretím platí, že je súčtom dvoch predchádzajúcich členov. Existuje taký