Okolo okrúhleho stola sedí $2n$ Grékov, z toho polovica Sparťania a polovica Aténčania. Koľko najviac Grékov v závislosti od $n$ môže sedieť vedľa Aténčana?

Series sa hrá s konečnými postupnosťami kladných celých čísel, a to tak, že do nich na ľubovoľné miesto vkladá alebo z ľubovoľného miesta odoberá dve zhodné susediace podpostupnosti. Napríklad z (5, 4) vie vyrobiť (5, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4) a naopak, alebo z (1) vie vyrobiť (1, 1, 1, 1, 1) a naopak. Dokážte, že Series vie z ľubovoľnej konečnej postupnosti spraviť rastúcu.

Prístav je tvaru štvorca $ABCD$. Lumomoros chce postaviť maják v bode $M$ a to tak, aby existoval rovnoramenný pravouhlý trojuholník $AMN$ s pravým uhlom pri vrchole $M$ a bod $N$ ležal na strane $CD$. Nájdite množinu všetkých možných polôh majáku a dokážte, že pre každý bod nájdenej množiny taký trojuholník existuje.

Series má postupnosť reálnych čísel $\{a_n\}_1^\infty$ takú, že $a_1=3$ a $a_{n+1} = a_n(a_n-1) +1$ pre všetky kladné celé čísla $n$. Dokážte, že
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2026^{2026}} < \sum^{2026}_{i=1} \frac{1}{a_i} < \frac{1}{2}.\]

Sparťania majú na mape zvolených 2026 bodov. Zistili, že keď zvolia ľubovoľných 17, je medzi nimi 11 bodov takých, že ich vedia zakryť kruhom s priemerom 1. Aténčania si priniesli kruhy s priemerom 2. Nájdite najmenší počet aténskych kruhov, ktorý vždy stačí na pokrytie všetkých 2026 bodov.

Funkciotos sa hrá s funkciou $f(x)=x^2 - 33x + 19$. Nájdite všetky celé čísla $n \ge 2$, pre ktoré práve jedno z čísel $f(1),f(2),\dots,f(n)$ je deliteľné číslom $n$.

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

Daný je obdĺžnik $ABCD$, $M$ a $N$ sú stredy strán $BC$ a $AD$. Na polpriamke $CA$ za bodom $A$
zvolíme bod $K$. Označme $L$ priesečník úsečiek $KM$ a $AB$. Dokážte, že $| \sphericalangle KNA | = |\sphericalangle LNA|$.

Nájdite všetky mocniny dvojky, z ktorých sa dá preusporiadaním číslic dostať iná mocnina dvojky. (Nuly na začiatku nie sú povolené, napr. 0032 nebudeme považovať za číslo.)

Nech $P$ je mnohočlen s celočíselnými koeficientami s vlastnosťou $P(a) = P(b) = P(c) = −1$,
kde $a$, $b$, $c$ sú nejaké navzájom rôzne celé čísla. Dokážte, že polynóm $P$ nemá žiaden celočíselný
koreň.

Máme kocku so stranou dlhou $n \in \mathbb{N}$, ktorá je postavená v súradnicovej sústave tak, že jeden jej vrchol je v bode $(0, 0, 0)$ a iný v bode $(n, n, n)$. Potrebujeme sa dostať z bodu $(0, 0, 0)$ do bodu $(n, n, n)$. Pohybovať sa môžeme len po povrchu kocky a len po úsečkách spájajúcich susedné body s celočíselnými súradnicami. (Dva body s celočíselnými súradnicami sú susedné, ak sa líšia len v jednej súradnici a tento rozdiel je 1.)
- Aká je dĺžka najkratšej takejto cesty z bodu (0, 0, 0) do bodu (n, n, n)?
- Koľko je rôznych najkratších ciest?

Daný je rovnoramenný trojuholník $ABC$, kde $|AB| = |AC|$. Označme $M$ stred úsečky $BC$. Nech $X$ je bod na kratšom oblúku $MA$ kružnice opísanej trojuholníku $ABM$. Nech $T$ je vnútorný bod uhla $BMA,$ pre ktorý $|\sphericalangle TMX| = 90^\circ$ a $|TX| = |BX|$. Dokážte, že hodnota rozdielu $|\sphericalangle MT B| − |\sphericalangle CTM|$ nezávisí na voľbe $X$.

Nech k, n sú prirodzené čísla, pričom k je nepárne. Dokážte, že súčet $1^k +2^k + \cdots + n^k$ je deliteľný súčtom $1 + 2 + \cdots + n$.

37. ročník - letný semester

2. séria

1. ÚLOHA

2. ÚLOHA

3. ÚLOHA

4. ÚLOHA

5. ÚLOHA

6. ÚLOHA