1. séria

Nájdite všetky prirodzené čísla $n$, pre ktoré sa ciferný súčet čísla $2^n$ rovná 5.

Označme $S$ obsah štvoruholníka $ABCD.$ Dokážte, že $4S\le (|AB|+|CD|)(|BC|+|DA|).$ Pre ktoré štvoruholníky nastáva rovnosť?

Máte 14 mincí, pričom 7 z nich je pravých a 7 falošných. Neviete, ktoré sú ktoré. Všetky falošné mince vážia rovnako a všetky pravé mince vážia rovnako. Vieme, že falošné mince sú ľahšie ako pravé, no jediný, kto vie tento nepatrný rozdiel rozpoznať, je robot Karol. Ak dáte Karolovi do každej z jeho dvoch rúk ľubovoľný počet mincí a potom ho kopnete, Karol ich odváži a

V rovine je daných 50 bodov, z ktorých žiadne tri neležia na jednej priamke. Každý z týchto bodov má jednu zo štyroch daných farieb. Dokážte, že vieme zvoliť jednu z týchto štyroch farieb tak, že sa dá nájsť aspoň 130 nerovnoramenných trojuholníkov, ktorých všetky vrcholy majú zvolenú farbu.

Daný je rovnoramenný pravouhlý trojuholník $ABC$ s pravým uhlom pri vrchole $C.$ Na stranách $CA$ a $CB$ sú postupne dané body $D$ a $E$ tak, že $|CD|=|CE|.$ Kolmice z bodov $D$ a $C$ na priamku $AE$ pretínajú priamku $AB$ postupne v bodoch $K$ a $L.$ Dokážte, že bod $L$ je stredom úsečky $KB.$

Rozhodnite, či existuje prvočíslo $p$ také, že $7p+3^p-4$ je druhou mocninou celého čísla.