Okolo okrúhleho stola sedí $2n$ Grékov, z toho polovica Sparťania a polovica Aténčania. Koľko najviac Grékov v závislosti od $n$ môže sedieť vedľa Aténčana?

Series sa hrá s konečnými postupnosťami kladných celých čísel, a to tak, že do nich na ľubovoľné miesto vkladá alebo z ľubovoľného miesta odoberá dve zhodné susediace podpostupnosti. Napríklad z (5, 4) vie vyrobiť (5, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4) a naopak, alebo z (1) vie vyrobiť (1, 1, 1, 1, 1) a naopak. Dokážte, že Series vie z ľubovoľnej konečnej postupnosti spraviť rastúcu.

Prístav je tvaru štvorca $ABCD$. Lumomoros chce postaviť maják v bode $M$ a to tak, aby existoval rovnoramenný pravouhlý trojuholník $AMN$ s pravým uhlom pri vrchole $M$ a bod $N$ ležal na strane $CD$. Nájdite množinu všetkých možných polôh majáku a dokážte, že pre každý bod nájdenej množiny taký trojuholník existuje.

Series má postupnosť reálnych čísel $\{a_n\}_1^\infty$ takú, že $a_1=3$ a $a_{n+1} = a_n(a_n-1) +1$ pre všetky kladné celé čísla $n$. Dokážte, že
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2026^{2026}} < \sum^{2026}_{i=1} \frac{1}{a_i} < \frac{1}{2}.\]

Sparťania majú na mape zvolených 2026 bodov. Zistili, že keď zvolia ľubovoľných 17, je medzi nimi 11 bodov takých, že ich vedia zakryť kruhom s priemerom 1. Aténčania si priniesli kruhy s priemerom 2. Nájdite najmenší počet aténskych kruhov, ktorý vždy stačí na pokrytie všetkých 2026 bodov.

Funkciotos sa hrá s funkciou $f(x)=x^2 - 33x + 19$. Nájdite všetky celé čísla $n \ge 2$, pre ktoré práve jedno z čísel $f(1),f(2),\dots,f(n)$ je deliteľné číslom $n$.

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

a) Rozhodnite, či sa nejaké prvočíslo dá napísať ako súčet aspoň troch po sebe idúcich kladných
celých čísel.

b) Dokážte, že každé nepárne prvočíslo sa dá práve dvomi spôsobmi zapísať ako súčet aspoň
troch po sebe idúcich celých čísel.


Dokážte, že z ľubovoľných 50 navzájom rôznych prvočísel je vždy možné vybrať 13 prvočísel tak,
že rozdiel každých dvoch z nich je deliteľný piatimi.

V trojuholníku $ABC$ stredná priečka rovnobežná so stranou $AB$ pretína výšky trojuholníka $ABC$
vedené z bodov $A$ a $B$ postupne v bodoch $D$ a $E.$ Stredná priečka rovnobežná so stranou $AC$
pretína výšky trojuholníka $ABC$ vedené z bodov $A$ a $C$ postupne v bodoch $F$ a $G.$ (Výšky
berieme ako priamky.) Dokážte, že priamky $DC,$ $BF$ a $GE$ sú rovnobežné.


Abeceda v marťanskom jazyku sa skladá z písmen $A$ a $O.$ Každé dve slová rovnakej dĺžky sa od
seba líšia aspoň na troch miestach. Dokážte, že počet slov dĺžky $n$ nie je väčší ako $2n/(n + 1).$


V danom nerovnostrannom trojuholníku $ABC$ pre dĺžky strán platí $a + c = 2b.$ Označme $I$ stred
vpísanej a $O$ stred opísanej kružnice trojuholníka $ABC.$
- a) Označme $K$ priesečník priamok $AC$ a $BI.$ Body $D$ a $E$ sú stredmi strán $BC$ a $AB$ (v tomto
poradí). Dokážte, že $I$ je stredom opísanej kružnice trojuholníka $DKE.$
- b) Dokážte, že priamky $OI$ a $BI$ sú na seba kolmé.


Nájdite najmenšie reálne číslo $K$ také, že nerovnosť
$$a^2 + b^2 + c^2 < K$$
platí pre každú trojicu reálnych čísel $a, b, c$ takú, že $a, b, c$ sú dĺžky strán trojuholníka s obvodom $1.$

37. ročník - zimný semester

2. séria

1. ÚLOHA

2. ÚLOHA

3. ÚLOHA

4. ÚLOHA

5. ÚLOHA

6. ÚLOHA