Okolo okrúhleho stola sedí $2n$ Grékov, z toho polovica Sparťania a polovica Aténčania. Koľko najviac Grékov v závislosti od $n$ môže sedieť vedľa Aténčana?

Series sa hrá s konečnými postupnosťami kladných celých čísel, a to tak, že do nich na ľubovoľné miesto vkladá alebo z ľubovoľného miesta odoberá dve zhodné susediace podpostupnosti. Napríklad z (5, 4) vie vyrobiť (5, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4) a naopak, alebo z (1) vie vyrobiť (1, 1, 1, 1, 1) a naopak. Dokážte, že Series vie z ľubovoľnej konečnej postupnosti spraviť rastúcu.

Prístav je tvaru štvorca $ABCD$. Lumomoros chce postaviť maják v bode $M$ a to tak, aby existoval rovnoramenný pravouhlý trojuholník $AMN$ s pravým uhlom pri vrchole $M$ a bod $N$ ležal na strane $CD$. Nájdite množinu všetkých možných polôh majáku a dokážte, že pre každý bod nájdenej množiny taký trojuholník existuje.

Series má postupnosť reálnych čísel $\{a_n\}_1^\infty$ takú, že $a_1=3$ a $a_{n+1} = a_n(a_n-1) +1$ pre všetky kladné celé čísla $n$. Dokážte, že
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2026^{2026}} < \sum^{2026}_{i=1} \frac{1}{a_i} < \frac{1}{2}.\]

Sparťania majú na mape zvolených 2026 bodov. Zistili, že keď zvolia ľubovoľných 17, je medzi nimi 11 bodov takých, že ich vedia zakryť kruhom s priemerom 1. Aténčania si priniesli kruhy s priemerom 2. Nájdite najmenší počet aténskych kruhov, ktorý vždy stačí na pokrytie všetkých 2026 bodov.

Funkciotos sa hrá s funkciou $f(x)=x^2 - 33x + 19$. Nájdite všetky celé čísla $n \ge 2$, pre ktoré práve jedno z čísel $f(1),f(2),\dots,f(n)$ je deliteľné číslom $n$.

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

Dokážte, že pre každé prirodzené číslo $n>3$, ktoré je nedeliteľné 3 platí, že šachovnicu
$n\times n$ je možné rozrezať na jeden štvorec $1\times 1$ a obdĺžniky $3\times 1$.

Majme štvoruholník $ABCD$, ktorého uhlopriečky sa pretínajú v bode $E$ a 
uhlopriečku $AC$ rozdeľujú body $E$, $S$ a $R$ na 4 rovnako dlhé úseky
($|AE|=|ES|=|SR|=|RC|={1\over 4}|AC|$). Obdobne uhlopriečku $BD$ rozdeľujú body $Q$, $P$ a $E$
na 4 rovnako dlhé úseky ($|BQ|=|QP|=|PE|=|ED|={1\over 4}|BD|$). Určte pomer obsahov štvoruholníkov $ABCD$ a $PQRS$.

Nech pre kladné reálne čísla $a_1,a_2,\dots,a_n$ platí, že súčet ich druhých mocnín je $z^2.$ Dokážte, že súčet ich tretích mocnín je nanajvýš $z^3.$

Nájdite všetky prirodzené čísla $a$, $b$, pre ktoré platí $a+b+D(a,b)+n(a,b)=50$, pričom $D(a,b)$ označuje najväčšieho spoločného deliteľa a $n(a,b)$ najmenší spoločný násobok čísel $a$ a $b$.

Dokážte, že pre každé prirodzené číslo $n$ platí: ${2n\choose n}$ delí najmenší spoločný násobok čísel $1, 2, \dots, 2n.$

Zostrojte štvoruholník $ABCD$, ak poznáte $AB$, $AD$, uhly pri vrcholoch $B$ a $D$ a navyše viete, že sa mu dá vpísať kružnica. Okrem postupu nezabudnite hlavne na dôkaz správnosti tejto konštrukcie.

38. ročník - letný semester

1. séria

1. ÚLOHA

2. ÚLOHA

3. ÚLOHA

4. ÚLOHA

5. ÚLOHA

6. ÚLOHA