Okolo okrúhleho stola sedí $2n$ Grékov, z toho polovica Sparťania a polovica Aténčania. Koľko najviac Grékov v závislosti od $n$ môže sedieť vedľa Aténčana?

Series sa hrá s konečnými postupnosťami kladných celých čísel, a to tak, že do nich na ľubovoľné miesto vkladá alebo z ľubovoľného miesta odoberá dve zhodné susediace podpostupnosti. Napríklad z (5, 4) vie vyrobiť (5, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4) a naopak, alebo z (1) vie vyrobiť (1, 1, 1, 1, 1) a naopak. Dokážte, že Series vie z ľubovoľnej konečnej postupnosti spraviť rastúcu.

Prístav je tvaru štvorca $ABCD$. Lumomoros chce postaviť maják v bode $M$ a to tak, aby existoval rovnoramenný pravouhlý trojuholník $AMN$ s pravým uhlom pri vrchole $M$ a bod $N$ ležal na strane $CD$. Nájdite množinu všetkých možných polôh majáku a dokážte, že pre každý bod nájdenej množiny taký trojuholník existuje.

Series má postupnosť reálnych čísel $\{a_n\}_1^\infty$ takú, že $a_1=3$ a $a_{n+1} = a_n(a_n-1) +1$ pre všetky kladné celé čísla $n$. Dokážte, že
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2026^{2026}} < \sum^{2026}_{i=1} \frac{1}{a_i} < \frac{1}{2}.\]

Sparťania majú na mape zvolených 2026 bodov. Zistili, že keď zvolia ľubovoľných 17, je medzi nimi 11 bodov takých, že ich vedia zakryť kruhom s priemerom 1. Aténčania si priniesli kruhy s priemerom 2. Nájdite najmenší počet aténskych kruhov, ktorý vždy stačí na pokrytie všetkých 2026 bodov.

Funkciotos sa hrá s funkciou $f(x)=x^2 - 33x + 19$. Nájdite všetky celé čísla $n \ge 2$, pre ktoré práve jedno z čísel $f(1),f(2),\dots,f(n)$ je deliteľné číslom $n$.

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

Nájdite všetky trojice reálnych čísel $x$, $y$, $z$, pre ktoré platí:
$$x^2=y+z,\qquad y^2=z+x, \qquad z^2=x+y.$$

Nájdite najväčšie trojciferné číslo deliteľné 11, ktorého súčin cifier je piata mocnina.

Máme jednu kocku a ľubovoľné prirodzené číslo $k>55$. Ukážte, že našu kocku vieme rozrezať na $k$ menších, nie nutne rovnako veľkých kociek, t.j. rozdeliť ju na $k$ kúskov tak, aby každý z nich bol kockou, bez ohľadu na to, aké $k>55$ si zvolíme.

V štvoruholníku $ABCD$ sú pravé uhly pri vrcholoch $B$ a $D$. $AM$ a $CN$ sú výšky v trojuholníkoch $ABD$ a $CBD$. Dokážte, že $|BN|=|DM|.$

Nech $n$ je prirodzené číslo. Ďalej uvažujme len postupnsti dĺžky $2n+2$ zložené len z núl a jednotiek. Nájdite najmenšie prirodzené číslo $k$, pre ktoré vieme vybrať $k$ {\it \uv{vyvolených}} postupností takých, že každá postupnosť sa zhoduje s nejakou vyvolenou na aspoň $n+2$ pozíciách.

Nájdite všetky prirodzené čísla $n$, pre ktoré ak $p(x)$ je polynóm s celočíselnými koeficientami taký, že $0\leq p(k) \leq n$ pre $k = 0, 1, 2, \dots, n+1$, potom $p(0)=p(1)= \dots =p(n+1)$.

38. ročník - letný semester

2. séria

1. ÚLOHA

2. ÚLOHA

3. ÚLOHA

4. ÚLOHA

5. ÚLOHA

6. ÚLOHA