1. séria

Blcha skáče po mrežových bodoch štvorčekovej siete. Každým skokom sa dostane o 1 mrežový bod vyššie, nižšie, doprava alebo doľava. Začne skákať z bodu $[0,0]$. Do koľkých mrežových bodov sa môže dostať presne po 15 skokoch?

Dokážte že súčet $\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}$ je iracionálne číslo.

Dokážte, že pre všetky $n$ sa dajú prirodzené čísla od $1$ až po $n$ usporiadať tak, aby sa medzi žiadnymi dvoma z nich nenachádzal ich priemer. Napríklad $6$, $1$, $4$, $5$, $3$, $2$ nie je dobré zoradenie čísel od $1$ po $6$, lebo medzi $2$ a $6$ sa nachádza ich priemer $4$.

Na šachovom turnaji sa zúčastnilo $n$ šachistov: veľmajstri a majstri. Po skončení turnaja, na ktorom hral každý s každým, sa ukázalo, že každý účastník získal presne polovicu svojich výhier v partiách proti majstrom. Ukážte, že $\sqrt{n}$ je celé číslo, ak viete, že žiaden zo zápasov neskončil remízou.

Majme trojuholník $ABC$, nech $A_1$, $B_1$, $C_1$ sú stredmi lomených čiar $CAB$, $ABC$, $BCA$ (sú v polovici ich dĺžok). Nech $p$, $q$, $r$ sú priamky vedúce cez $A_1$, $B_1$, $C_1$ a rovnobežné s osami vnútorných uhlov trojuholníka $ABC$ pri vrcholoch $A$, $B$, $C$. Dokážte, že $p$, $q$ a $r$ sa pretínajú v jednom spoločnom bode.

Matúš si vymyslel 4 kladné, nie nutne celé čísla $a$, $b$, $c$ a $d$. Má teda 6 možností, ako vynásobiť práve 2 z nich. Peťovi ale Matúš povedal len 5 z týchto 6 súčinov, konkrétne $2$, $3$, $4$, $5$ a $6$. Pomôžte Peťovi nájsť šiesty súčin.