Okolo okrúhleho stola sedí $2n$ Grékov, z toho polovica Sparťania a polovica Aténčania. Koľko najviac Grékov v závislosti od $n$ môže sedieť vedľa Aténčana?

Series sa hrá s konečnými postupnosťami kladných celých čísel, a to tak, že do nich na ľubovoľné miesto vkladá alebo z ľubovoľného miesta odoberá dve zhodné susediace podpostupnosti. Napríklad z (5, 4) vie vyrobiť (5, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4) a naopak, alebo z (1) vie vyrobiť (1, 1, 1, 1, 1) a naopak. Dokážte, že Series vie z ľubovoľnej konečnej postupnosti spraviť rastúcu.

Prístav je tvaru štvorca $ABCD$. Lumomoros chce postaviť maják v bode $M$ a to tak, aby existoval rovnoramenný pravouhlý trojuholník $AMN$ s pravým uhlom pri vrchole $M$ a bod $N$ ležal na strane $CD$. Nájdite množinu všetkých možných polôh majáku a dokážte, že pre každý bod nájdenej množiny taký trojuholník existuje.

Series má postupnosť reálnych čísel $\{a_n\}_1^\infty$ takú, že $a_1=3$ a $a_{n+1} = a_n(a_n-1) +1$ pre všetky kladné celé čísla $n$. Dokážte, že
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2026^{2026}} < \sum^{2026}_{i=1} \frac{1}{a_i} < \frac{1}{2}.\]

Sparťania majú na mape zvolených 2026 bodov. Zistili, že keď zvolia ľubovoľných 17, je medzi nimi 11 bodov takých, že ich vedia zakryť kruhom s priemerom 1. Aténčania si priniesli kruhy s priemerom 2. Nájdite najmenší počet aténskych kruhov, ktorý vždy stačí na pokrytie všetkých 2026 bodov.

Funkciotos sa hrá s funkciou $f(x)=x^2 - 33x + 19$. Nájdite všetky celé čísla $n \ge 2$, pre ktoré práve jedno z čísel $f(1),f(2),\dots,f(n)$ je deliteľné číslom $n$.

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

Koľko existuje 5-ciferných čísel tvaru $\overline{ABCDE}$, pre ktoré platí, že
- a) $A > B > C > D > E$ ?b) $A \geq B \geq C \geq D \geq E$ ?

V rovnoramennom trojuholníku $ABC$ so základňou $BC$ pretína os uhla pri $B$ stranu $AC$ v bode $D$. Vieme, že platí $|BC|=|BD|+|AD|$. Určte veľkosť uhla pri vrchole $A$.

Nech $x$ a $y$ sú kladné reálne čísla spĺňajúce $y^3+y \leq x-x^3$. Dokážte, že potom platí $ y \lt x \lt 1 $ a  $x^2+y^2 \lt 1 $.

Čísla $1,\, 2,\,  \dots,\, n^2$ sú zapísané do štvorcovej tabuľky $n \times n$ tak, že čísla v každom riadku (zľava doprava) a v každom stĺpci (zhora dole) sú v rastúcom poradí. Označme $a_{jk}$ číslo zapísané v $j$-tom riadku a $k$-tom stĺpci. Nech $b_j$ je počet rôznych čísel, ktoré sa môžu objaviť v tabuľke na mieste $a_{jj}$. Dokážte, že
$$b_1+b_2+ \dots +b_n  \leq {n \over 3}(n^2-3n+5).$$
(Napríklad pre $n=3$ jediné čísla, ktoré sa môžu v tabuľke objaviť ako $a_{22}$ sú $4$, $5$, $6$, takže $b_2=3$.)

Dokážte, že existuje taká nekonečná rastúca postupnosť prirodzených čísel $a_1,a_2, \dots $, že pre každé celé $k \geq 0$, postupnosť $a_1+k, a_2+k, a_3+k, \dots$ obsahuje len konečne veľa prvočísel.

Robčo našiel prirodzené čísla $a$, $b$, $c$ také, že platí $a^2 = 2b^3 = 3c^5$. Zistite najmenšiu možnú hodnotu súčinu $abc$.

39. ročník - letný semester

2. séria

2. ÚLOHA

3. ÚLOHA

4. ÚLOHA

5. ÚLOHA

6. ÚLOHA

7. ÚLOHA