1. séria

Dokážte, že pre všetky prirodzené čísla $n$ platí, že 6 delí $n^3+11n$.

Štvorciferné číslo $\overline{abcd}$, ktoré spĺňa podmienky $a^2+b^2=c^2+d^2,$ $a+b=c+d$ nazývame šikovné. Koľko existuje šikovných štvorciferných čísel?

Robot Karol stojí na jednom z bodov nekonečnej štvorcovej mriežky. V hlave má dve pamäťové jednotky $A$ a $B$. Keď sa pohne o jednu štvorcovú dĺžku smerom hore, číslo v jednotke $A$ sa zväčší o $1$. Naopak, ak sa pohne smerom dole, toto číslo sa zmenší o $1$. Ak sa pohne smerom doprava, do jednotky $B$ sa pričíta číslo v $A$ a naopak, ak sa pohne smerom doľava, toto číslo sa od čísla v jednotke $B$ odčíta.

Robot Karol sa pri svojom pohybe riadi nasledovnými pravidlami:

Máme desať vrecúšok a v každom je 100 mincí. V deviatich z nich sú pravé mince, ktoré vážia 10 gramov a v jednom sú falošné mince vážiace 11. Ako pomocou jedného váženia a digitálnej váhy zistíte, v ktorom vrecúšku sú falošné mince?

Nech $H$ je ortocentrum ostrouhlého trojuholníka $ABC$. Dotyčnice z bodu $A$ ku kružnici $k$ zostrojenej nad priemerom $BC$ sa dotýkajú kružnice $k$ v bodoch $P$ a $Q$. Dokážte, že body $P$, $Q$, $H$ ležia na jednej priamke.

Určte všetky prirodzené čísla $m$, pre ktoré sa dá štvorec $m\times m$ rozdeliť na päť obdĺžnikov, ktorých dĺžky strán sú $1,2,\dots ,10$ v nejakom poradí.