Okolo okrúhleho stola sedí $2n$ Grékov, z toho polovica Sparťania a polovica Aténčania. Koľko najviac Grékov v závislosti od $n$ môže sedieť vedľa Aténčana?

Series sa hrá s konečnými postupnosťami kladných celých čísel, a to tak, že do nich na ľubovoľné miesto vkladá alebo z ľubovoľného miesta odoberá dve zhodné susediace podpostupnosti. Napríklad z (5, 4) vie vyrobiť (5, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4) a naopak, alebo z (1) vie vyrobiť (1, 1, 1, 1, 1) a naopak. Dokážte, že Series vie z ľubovoľnej konečnej postupnosti spraviť rastúcu.

Prístav je tvaru štvorca $ABCD$. Lumomoros chce postaviť maják v bode $M$ a to tak, aby existoval rovnoramenný pravouhlý trojuholník $AMN$ s pravým uhlom pri vrchole $M$ a bod $N$ ležal na strane $CD$. Nájdite množinu všetkých možných polôh majáku a dokážte, že pre každý bod nájdenej množiny taký trojuholník existuje.

Series má postupnosť reálnych čísel $\{a_n\}_1^\infty$ takú, že $a_1=3$ a $a_{n+1} = a_n(a_n-1) +1$ pre všetky kladné celé čísla $n$. Dokážte, že
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2026^{2026}} < \sum^{2026}_{i=1} \frac{1}{a_i} < \frac{1}{2}.\]

Sparťania majú na mape zvolených 2026 bodov. Zistili, že keď zvolia ľubovoľných 17, je medzi nimi 11 bodov takých, že ich vedia zakryť kruhom s priemerom 1. Aténčania si priniesli kruhy s priemerom 2. Nájdite najmenší počet aténskych kruhov, ktorý vždy stačí na pokrytie všetkých 2026 bodov.

Funkciotos sa hrá s funkciou $f(x)=x^2 - 33x + 19$. Nájdite všetky celé čísla $n \ge 2$, pre ktoré práve jedno z čísel $f(1),f(2),\dots,f(n)$ je deliteľné číslom $n$.

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

Ukážte, že pre všetky prirodzené čísla $a$, $b$, $c$, $d$ platí, že $(a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(d - c)$ je deliteľné 12.

Majme postupnosť čísel, pre ktorú platí $a_2 = 5$ a $a_n = \lfloor \frac{n^2}{a_{n-1}} \rfloor$ pre $n > 2$. Zistite hodnotu $a_{999}$ a svoje riešenie odôvodnite.

V trojuholníku $ABC$ označme $M$ ako stred strany $BC$ a $D$ vnútorný bod strany $AB$. Priesečník $AM$ a $CD$ nazveme $E$. Ukážte, že ak $|AD| = |DE|$, potom $|AB| = |CE|$.

Dokážte, že pre všetky prirodzené čísla $n$ platí
$$n\Big(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}\Big) \ge 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} \ge \sqrt{n}.$$

Máme balíček $2n$ rôznych kariet. Každé zamiešanie zmení poradie kariet z $a_1, a_2, \dots, a_n, b_1, b_2, \dots, b_n$ na $a_1, b_1, a_2$, $b_2,\dots, a_n, b_n$. Určte všetky $n$, pre ktoré ak zamiešame balíček 8-krát, budú karty v rovnakom poradí ako na začiatku.

Nech $x_1, x_2, \dots, x_{19}$ sú prirodzené čísla menšie rovné 93 a nech $y_1, \dots, y_{93}$ sú prirodzené čísla menšie rovné 19. Dokážte, že potom existuje (nenulový) súčet niektorých $x_i$, ktorý je rovný súčtu niektorých $y_j$.

39. ročník - zimný semester

2. séria

1. ÚLOHA

2. ÚLOHA

3. ÚLOHA

4. ÚLOHA

5. ÚLOHA

6. ÚLOHA