Okolo okrúhleho stola sedí $2n$ Grékov, z toho polovica Sparťania a polovica Aténčania. Koľko najviac Grékov v závislosti od $n$ môže sedieť vedľa Aténčana?

Series sa hrá s konečnými postupnosťami kladných celých čísel, a to tak, že do nich na ľubovoľné miesto vkladá alebo z ľubovoľného miesta odoberá dve zhodné susediace podpostupnosti. Napríklad z (5, 4) vie vyrobiť (5, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4) a naopak, alebo z (1) vie vyrobiť (1, 1, 1, 1, 1) a naopak. Dokážte, že Series vie z ľubovoľnej konečnej postupnosti spraviť rastúcu.

Prístav je tvaru štvorca $ABCD$. Lumomoros chce postaviť maják v bode $M$ a to tak, aby existoval rovnoramenný pravouhlý trojuholník $AMN$ s pravým uhlom pri vrchole $M$ a bod $N$ ležal na strane $CD$. Nájdite množinu všetkých možných polôh majáku a dokážte, že pre každý bod nájdenej množiny taký trojuholník existuje.

Series má postupnosť reálnych čísel $\{a_n\}_1^\infty$ takú, že $a_1=3$ a $a_{n+1} = a_n(a_n-1) +1$ pre všetky kladné celé čísla $n$. Dokážte, že
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2026^{2026}} < \sum^{2026}_{i=1} \frac{1}{a_i} < \frac{1}{2}.\]

Sparťania majú na mape zvolených 2026 bodov. Zistili, že keď zvolia ľubovoľných 17, je medzi nimi 11 bodov takých, že ich vedia zakryť kruhom s priemerom 1. Aténčania si priniesli kruhy s priemerom 2. Nájdite najmenší počet aténskych kruhov, ktorý vždy stačí na pokrytie všetkých 2026 bodov.

Funkciotos sa hrá s funkciou $f(x)=x^2 - 33x + 19$. Nájdite všetky celé čísla $n \ge 2$, pre ktoré práve jedno z čísel $f(1),f(2),\dots,f(n)$ je deliteľné číslom $n$.

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

Dokážte, že niektoré dve z reálnych čísel $a,\ b,\ c,\ d$ sa líšia maximálne o 1, ak pre nich platí 
$$ab+cd = 1, $$
$$a^2 +b^2 +c^2 +d^2 = 4.$$


Majme konvexný štvoruholník $ABCD$ s pravým uhlom pri vrchole $C$. Označme $S$ stred strany $AB$. Dokážte, že:  $$2\cdot |CS|\leq|BD|+|DA|.$$ Ukážte tiež, kedy nastane rovnosť.

Robčo a Peťo hrajú hru s gorodkami. Začína Robčo a v ťahoch sa striedajú, pričom každý vo svojom ťahu zvýši veľkosť gorodiek (označme $n$) o vlastného deliteľa $n$ (deliteľa menšieho ako $n$). Na začiatku majú dvojdielne gorodky ($n=2$). Vyhráva ten, kto prvý zvýši $n$ na hodnotu väčšiu alebo rovnú ako 2016. Obaja hrajú nalepšie ako sa dá. Kto vyhrá?

Vyriešte nasledujúcu rovnicu v celých číslach (svoje riešenie odôvodnite):
$${x_1}^4 + \cdots + {x_{14}}^4 = 2015.$$

Ukážte, že pre každé prvočíslo $p$ existujú prirodzené čísla $a$, $b$ také, že $a^2 + b^2 + 1$ je deliteľné $p$.

Nech $ABCD$ je lichobežník so základňami $AB$ a $CD$ ($|AB| > |CD|$). Body $K$ a $L$ ležia na úsečkách $AB$ a $CD$ tak, že $|AK|:|KB| = |DL|:|LC|$. Predpokladajme, že existujú body $P$ a $Q$ na úsečke $KL$, pre ktoré platí
$$|∠ APB| = |∠ BCD| \ \ \ \mbox{a} \ \ \ |∠ CQD| = |∠ ABC|.$$
Dokážte, že body $P,\ Q,\ B,\ C$ ležia na jednej kružnici.

40. ročník - letný semester

1. séria

1. ÚLOHA

2. ÚLOHA

3. ÚLOHA

4. ÚLOHA

5. ÚLOHA

6. ÚLOHA