Okolo okrúhleho stola sedí $2n$ Grékov, z toho polovica Sparťania a polovica Aténčania. Koľko najviac Grékov v závislosti od $n$ môže sedieť vedľa Aténčana?

Series sa hrá s konečnými postupnosťami kladných celých čísel, a to tak, že do nich na ľubovoľné miesto vkladá alebo z ľubovoľného miesta odoberá dve zhodné susediace podpostupnosti. Napríklad z (5, 4) vie vyrobiť (5, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4) a naopak, alebo z (1) vie vyrobiť (1, 1, 1, 1, 1) a naopak. Dokážte, že Series vie z ľubovoľnej konečnej postupnosti spraviť rastúcu.

Prístav je tvaru štvorca $ABCD$. Lumomoros chce postaviť maják v bode $M$ a to tak, aby existoval rovnoramenný pravouhlý trojuholník $AMN$ s pravým uhlom pri vrchole $M$ a bod $N$ ležal na strane $CD$. Nájdite množinu všetkých možných polôh majáku a dokážte, že pre každý bod nájdenej množiny taký trojuholník existuje.

Series má postupnosť reálnych čísel $\{a_n\}_1^\infty$ takú, že $a_1=3$ a $a_{n+1} = a_n(a_n-1) +1$ pre všetky kladné celé čísla $n$. Dokážte, že
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2026^{2026}} < \sum^{2026}_{i=1} \frac{1}{a_i} < \frac{1}{2}.\]

Sparťania majú na mape zvolených 2026 bodov. Zistili, že keď zvolia ľubovoľných 17, je medzi nimi 11 bodov takých, že ich vedia zakryť kruhom s priemerom 1. Aténčania si priniesli kruhy s priemerom 2. Nájdite najmenší počet aténskych kruhov, ktorý vždy stačí na pokrytie všetkých 2026 bodov.

Funkciotos sa hrá s funkciou $f(x)=x^2 - 33x + 19$. Nájdite všetky celé čísla $n \ge 2$, pre ktoré práve jedno z čísel $f(1),f(2),\dots,f(n)$ je deliteľné číslom $n$.

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

Máme kružnicu $k$ a bod $X$ mimo nej. Nech $XY$ a $XZ$ sú dotyčnice ku kružnici $k$, pričom body $Y$ a $Z$ sú body dotyku. Dokážte, že stred kružnice vpísanej do trojuholníka $XYZ$ leží na kružnici $k$.

Dokážte, že ak $p$, $q$, $r$ sú racionálne čísla a platí $p^2+q^2+r^2+2 = (p+q+r)^2$, potom $(1+p^2)(1+q^2)(1+r^2)$ je druhou mocninou racionálneho čísla.

Urče počet podmnožín množiny $\{1,\ 2,\ 3,\ \dots,\ 50\}$, ktorej súčet prvkov je väčší alebo rovný ako 638.

Nech pre reálne čísla $x,\ y,\ z > 0$ platí
$$\frac 1 x + \frac 1 y + \frac 1 z = 1,$$
dokážte, že $(x-1)(y-1)(z-1)\geq8.$

Nájdite najmenšie prirodzené číslo $t$, pre ktoré existujú celé čísla $x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_t$ také, pre ktoré platí 
$$x_1^3 + x_2^3 + \dots + x_t^3 = 2002^{2002}.$$


Máme tri obrovské krčahy, v každom z nich je kladný celočíselný počet litrov vody. Dovolené je doliať do ľubovoľného krčahu rovnaké množstvo vody, aké v ňom práve je z krčahu, ktorý obsahuje dostatočné množstvo vody. Dokážte, že pomocou takéhoto prelievania je vždy možné úplne vyprázdniť niektorý krčah.

40. ročník - letný semester

2. séria

1. ÚLOHA

2. ÚLOHA

3. ÚLOHA

4. ÚLOHA

5. ÚLOHA

6. ÚLOHA