1. séria

Nájdite všetky trojice prvočísel $p$, $q$, $r$, pre ktoré platí: $\frac{14}{p}+\frac{51}{q}=\frac{65}{r}.$

Sto účastníkov sa rozdelilo do troch družiniek - Korene, Miazga a Stonka. Neskôr jedno dieťa z Koreňov prestúpilo do Miazgy, jedno z Miazgy do Stonky a jedno zo Stonky do Koreňov. Priemerná hmotnosť v družstve Korene sa zvýšila o $120$ gramov, v družinke Miazga o $130$ gramov, zatiaľčo v družinke Stonka sa znížila o $240$ gramov. Koľko členné družinky sme na sústredku mali?

Body na obvode rovnostranného trojuholníka sú ofarbené dvoma farbami (modrou a červenou). Dokážte, že medzi nimi existujú tri body rovnakej farby, ktoré tvoria vrcholy pravouhlého trojuholníka.

Matúš a Janka hrajú takúto hru: Matúš ako prvý hráč postaví na šachovnicu kráľa a urobí s ním ťah (podľa pravidiel šachu). Potom Janka a Matúš striedavo pohybujú kráľom tak, že je zakázané postaviť ho na políčka šachovnice, na ktorých už stál. Prehráva ten, kto už nemôže urobiť žiaden ťah. Kto z nich má víťaznú stratégiu? Popíšte ju.

Nech je daná kružnica $k$ so stredom $O$. Na predĺžení tetivy $KL$ kružnice $k$ leží bod $A$. Dotyčnice z bodu $A$ ku kružnici $k$ sa jej dotýkajú v bodoch $T$, $U$. Označme $M$ stred úsečky $TU$. Ukážte, že štvoruholník $KLMO$ je tetivový.

Majme funkciu $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, pre ktorú platí $x+f(x)=f(f(x)),$ pre všetky reálne čísla $x$. Nájdite všetky riešenia rovnice $f(f(x))=0$ v premennej $x$.