2. séria

Riško a Šiško hrajú na šachovnici $10\times 10$ nasledujúcu hru. Ten, kto je práve na ťahu, si zvolí jeden z riadkov alebo stĺpcov, ktoré neboli doteraz v hre zvolené a všetky políčka v ňom si prefarbí na svoju farbu (Riško má ružovú a Šiško šedú). Riško začínal a v ťahoch sa striedajú. Hra končí, keď už bol každý riadok aj stĺpec zvolený. Nájdite pre Šiška takú stratégiu, pri ktorej na konci hry bude aspoň o $10$ šedých políčok viac ako ružových.

Nech je dané celé číslo $z$. Dokážte, že rovnice \begin{eqnarray*} x^2 + y^2 &=& z,\ x^2 + y^2 &=& 2z. \end{eqnarray*} majú rovnaký počet riešení na množine celých čísel.

Dokážte, že pre ľubovoľné prirodzené $n$ existuje číslo zostavené len z cifier $1$ a $2$, ktoré je deliteľné $2^n$.

Skonštruujte pravouhlý trojuholník $ABC$ s danou preponou $c$ taký, že dĺžka ťažnice vychádzajúcej z vrchola $C$ je geometrický priemer dĺžok zvyšných dvoch odvesien.

Nech $a,b,c$ sú kladné reálne čísla také, že $a^2+b^2+c^2+(a+b+c{)}^2\le 4.$ Dokážte, že $\frac{ab+1}{(a+b{)}^2}+\frac{bc+1}{(b+c{)}^2}+\frac{ca+1}{(c+a{)}^2}\ge 3.$

Nech $A$ je množina kladných prirodzených čísel s aspoň dvoma prvkami. Pre každé dve čísla $a,b$ z množiny $A$ také, že $a>b$ platí, že aj $\frac{nsn(a,b)}{a-b}\in A,$ kde $nsn(a,b)$ je najmenší spoločný násobok čísel $a$ a $b$. Dokážte, že množina $A$ má práve dva prvky.