1. séria

Štvorec s obsahom $5$ je pokrytý $9$ mnohouholníkmi s obsahom $1$. Dokážte, že existujú dva mnohouholníky, ktorých prienik má obsah aspoň $1/9$.

Na tabuli sú napísané čísla $1,2,\dots ,17$. Čísla zotierame tak, že z nezotretých čísel si vyberieme ľubovoľné číslo $k$ a zotrieme všetky delitele čísla $k+17$. Je možné zmazať všetky čísla?

Rovnostranný trojuholník je rozdelený na $n^2$ zhodných trojuholníkov (napr. obrázok pre $n=4$). Niektoré z nich sú očíslované číslami od $1$ do $m$ tak, že susedné čísla sú vpísané do susedných trojuholníkov - majú spoločnú stranu. Dokážte, že $m\le n^2-n+1$.

Biologička Janka pozoruje chameleóna, ktorý chytá muchy. Chameleón má však prešpekulované pravidlá, ako bude pri chytaní múch oddychovať. Pred prvou chytenou muchou oddychuje $1$ minútu. Pred každou $2m$-tou muchou oddychuje toľko minút, ako oddychoval pred $m$-tou muchou. Pred každou $(2m+1)$-ou muchou oddychuje o minútu viac, ako oddychoval pred $m$-tou muchou. Keď skončí niekoľko minútový oddych, chameleón okamžite chytí muchu a opäť začne oddychovať. Zistite:

Je daný tetivový päťuholník $ABCDE$ taký, že $|AB|=|BC|$. Bod $P$ je priesečník priamok $BE$ a $AD$ a bod $Q$ je priesečník priamok $CE$ a $BD$. Priamka určená bodmi $PQ$ pretne opísanú kružnicu v bodoch $X,Y$. Dokážte $|BX|=|BY|$.

Nech $a,b,c$ sú kladné reálne čísla také, že $abc=1$. Dokážte, že $\frac{a+b+c+3}{4}\ge \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{c+b}.$