2. séria

Dokážte, že ak $p$, $q$ sú kladné celé čísla čísla, tak kladným celým číslom je aj $\frac{10^{p+q}+2\cdot 10^q+2\cdot 10^p+4}{36}.$

Dokážte, že v ľubovoľnom konvexnom mnohouholníku (okrem rovnobežníka) možno vybrať tri strany tak, aby priamky nimi určené tvorili trojuholník, v ktorom je daný mnohouholník obsiahnutý.

V každom vrchole štvorca máme $1$ kamienok a v každom kroku môžeme previesť nasledujúcu operáciu: z ľubovoľného vrcholu zoberieme niekoľko kamienkov (najviac toľko, koľko ich tam je) a pridáme dvakrát viac kamienkov na niektorý zo susedných vrcholov. Je to možné robiť tak, aby sme na konci vo vrcholoch dostali (zaradom po obvode) $2016$, $2015$, $2017$ a $2016$ kamienkov?

Nájdite všetky kladné celé čísla $n$, ktoré sa nedajú zapísať v tvare $n=[a,b]+[b,c]+[c,a]$, pričom $a,b,c$ môžu byť ľubovoľné kladné celé čísla. Pozn: $[a,b]$ označuje najmenší spoločný násobok čísel $a,b$.

Na odvesnách $AC$ a $BC$ pravouhlého trojuholníka $ABC$ sú zvolené postupne body $K$ a $L$ a na prepone bod $M$ tak, že platí $|AK|=|BL|=a$, $|KM|=|LM|=b$ a uhol $KML$ je pravý. Dokážte, že $a=b$.

Univerzálnou postupnosťou čísel $1,2,\dots ,n$ nazveme takú (konečnú) postupnosť týchto čísel, že vyčiarknutím niektorých jej členov z nej dostaneme ľubovoľnú permutáciu týchto čísel (napr. $1,2,3,1,2,3,1$ je univerzálna postupnosť čísel $1,2,3$, lebo ľahko preveríme, že všetky permutácie, t.j. $1,2,3;$ $1,3,2;$ $2,1,3;$ $2,3,1;$ $3,1,2;$ $3,2,1$ vzniknú vyčiarknutím niektorých jej členov). Nájdite najkratšiu univerzálnu postupnosť čísel $1$, $2$, $3$ a potom aj čísel $1$, $2$, $3$, $4$ a dokážte, že kratšie neexistujú.