Okolo okrúhleho stola sedí $2n$ Grékov, z toho polovica Sparťania a polovica Aténčania. Koľko najviac Grékov v závislosti od $n$ môže sedieť vedľa Aténčana?

Series sa hrá s konečnými postupnosťami kladných celých čísel, a to tak, že do nich na ľubovoľné miesto vkladá alebo z ľubovoľného miesta odoberá dve zhodné susediace podpostupnosti. Napríklad z (5, 4) vie vyrobiť (5, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4) a naopak, alebo z (1) vie vyrobiť (1, 1, 1, 1, 1) a naopak. Dokážte, že Series vie z ľubovoľnej konečnej postupnosti spraviť rastúcu.

Prístav je tvaru štvorca $ABCD$. Lumomoros chce postaviť maják v bode $M$ a to tak, aby existoval rovnoramenný pravouhlý trojuholník $AMN$ s pravým uhlom pri vrchole $M$ a bod $N$ ležal na strane $CD$. Nájdite množinu všetkých možných polôh majáku a dokážte, že pre každý bod nájdenej množiny taký trojuholník existuje.

Series má postupnosť reálnych čísel $\{a_n\}_1^\infty$ takú, že $a_1=3$ a $a_{n+1} = a_n(a_n-1) +1$ pre všetky kladné celé čísla $n$. Dokážte, že
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2026^{2026}} < \sum^{2026}_{i=1} \frac{1}{a_i} < \frac{1}{2}.\]

Sparťania majú na mape zvolených 2026 bodov. Zistili, že keď zvolia ľubovoľných 17, je medzi nimi 11 bodov takých, že ich vedia zakryť kruhom s priemerom 1. Aténčania si priniesli kruhy s priemerom 2. Nájdite najmenší počet aténskych kruhov, ktorý vždy stačí na pokrytie všetkých 2026 bodov.

Funkciotos sa hrá s funkciou $f(x)=x^2 - 33x + 19$. Nájdite všetky celé čísla $n \ge 2$, pre ktoré práve jedno z čísel $f(1),f(2),\dots,f(n)$ je deliteľné číslom $n$.

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

Dokážte, že ak je číslo $n$ druhou mocninou prirodzeného čísla, potom je súčin posledných dvoch cifier dekadického zápisu čísla $n$ párne číslo.

Je daný štvorec a $9$ priamok. Každá z týchto $9$ priamok delí tento štvorec na štvoruholníky, ktorých pomer obsahov je $2:3$. Dokážte, že aspoň $3$ z týchto priamok sa pretínajú v jednom bode.

Bod $M$ leží na priemere $AB$ kružnice $k$. Tetiva $CD$ prechádza bodom $M$ a pretína $AB$ pod uhlom $45^\circ$. Dokážte, že súčet $|CM|^2+|DM|^2$ nezávisí od výberu bodu $M$.

Pre ktoré reálne čísla $c$ existujú práve dve rôzne reálne čísla, ktoré sú riešením rovnice $x^3+(c-1)x+c=0$?

V pravidelnom $n$-uholníku je každá strana aj uhlopriečka zafarbená jednou z $n-1$ farieb. Vrchol sa nazýva dúhový, ak všetky strany a uhlopriečky, ktoré z neho vychádzajú, majú navzájom rôzne farby. Koľko najviac vrcholov môže byť dúhových?

Do daného ostrouhlého trojuholníka $ABC$ vpíšte trojuholník $KLM$ tak, aby jeho obvod bol najmenší možný.

41. ročník - zimný semester

1. séria

1. ÚLOHA

2. ÚLOHA

3. ÚLOHA

4. ÚLOHA

5. ÚLOHA

6. ÚLOHA