Okolo okrúhleho stola sedí $2n$ Grékov, z toho polovica Sparťania a polovica Aténčania. Koľko najviac Grékov v závislosti od $n$ môže sedieť vedľa Aténčana?

Series sa hrá s konečnými postupnosťami kladných celých čísel, a to tak, že do nich na ľubovoľné miesto vkladá alebo z ľubovoľného miesta odoberá dve zhodné susediace podpostupnosti. Napríklad z (5, 4) vie vyrobiť (5, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4) a naopak, alebo z (1) vie vyrobiť (1, 1, 1, 1, 1) a naopak. Dokážte, že Series vie z ľubovoľnej konečnej postupnosti spraviť rastúcu.

Prístav je tvaru štvorca $ABCD$. Lumomoros chce postaviť maják v bode $M$ a to tak, aby existoval rovnoramenný pravouhlý trojuholník $AMN$ s pravým uhlom pri vrchole $M$ a bod $N$ ležal na strane $CD$. Nájdite množinu všetkých možných polôh majáku a dokážte, že pre každý bod nájdenej množiny taký trojuholník existuje.

Series má postupnosť reálnych čísel $\{a_n\}_1^\infty$ takú, že $a_1=3$ a $a_{n+1} = a_n(a_n-1) +1$ pre všetky kladné celé čísla $n$. Dokážte, že
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2026^{2026}} < \sum^{2026}_{i=1} \frac{1}{a_i} < \frac{1}{2}.\]

Sparťania majú na mape zvolených 2026 bodov. Zistili, že keď zvolia ľubovoľných 17, je medzi nimi 11 bodov takých, že ich vedia zakryť kruhom s priemerom 1. Aténčania si priniesli kruhy s priemerom 2. Nájdite najmenší počet aténskych kruhov, ktorý vždy stačí na pokrytie všetkých 2026 bodov.

Funkciotos sa hrá s funkciou $f(x)=x^2 - 33x + 19$. Nájdite všetky celé čísla $n \ge 2$, pre ktoré práve jedno z čísel $f(1),f(2),\dots,f(n)$ je deliteľné číslom $n$.

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

Dokážte, že v každom konvexnom päťuholníku vieme vybrať $3$ uhlopriečky tak, že ich poprekladaním je možné zostrojiť trojuholník.

Nech $F_n$ je $n$-té Fibonacciho číslo. Nájdite všetky dvojice kladných celých čísel $(a,\ n)$ také, že $F_n + F_{2n} + F_{3n} = a! + 3$.

Do tabuľky $4\times4$ sú vpísané kladné reálne čísla tak, že súčin v každej pätici tvaru $T$ je rovný $1$. Zistite maximálny počet rôznych čísel zapísaných v tabuľke.

Je daný pravouhlý trojuholník $ABC$ s preponou $AB$. Na jeho odvesnách $BC$ a $AC$ sú postupne zvolené také body $K$ a $L$, že $|CK| = 2|BK|$ a $|AL| = 2|CL|$. Nech $D$ je päta výšky z vrcholu $C$ trojuholníka $ABC$. Dokážte, že body $K,\ C,\ L$ a $D$ ležia na jednej kružnici.

Dokážte, že pre ľubovoľné kladné čísla $x$ a $y$ platí nerovnosť 
$$x+y \geq \sqrt{xy} + \sqrt{\frac{(x^2 + y^2)}{2}}.$$

Nech $x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n$ sú nezáporné reálne čísla, ktorých súčet je 1. Dokážte, že existujú čísla $ a_1,\ a_2,\ \dots ,\ a_n$, z ktorých každé je rovné $0,\ 1,\ 2,\ 3,$ alebo 4 také, že 
$$(a_1,\ a_2,\ \dots,\ a_n)\not= (2,\ 2,\ \dots,\ 2)$$
 a 
$$2\leq a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n\leq 2+\frac{2}{3^n-1}.$$

41. ročník - zimný semester

2. séria

1. ÚLOHA

2. ÚLOHA

3. ÚLOHA

4. ÚLOHA

5. ÚLOHA

6. ÚLOHA