Okolo okrúhleho stola sedí $2n$ Grékov, z toho polovica Sparťania a polovica Aténčania. Koľko najviac Grékov v závislosti od $n$ môže sedieť vedľa Aténčana?

Series sa hrá s konečnými postupnosťami kladných celých čísel, a to tak, že do nich na ľubovoľné miesto vkladá alebo z ľubovoľného miesta odoberá dve zhodné susediace podpostupnosti. Napríklad z (5, 4) vie vyrobiť (5, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4) a naopak, alebo z (1) vie vyrobiť (1, 1, 1, 1, 1) a naopak. Dokážte, že Series vie z ľubovoľnej konečnej postupnosti spraviť rastúcu.

Prístav je tvaru štvorca $ABCD$. Lumomoros chce postaviť maják v bode $M$ a to tak, aby existoval rovnoramenný pravouhlý trojuholník $AMN$ s pravým uhlom pri vrchole $M$ a bod $N$ ležal na strane $CD$. Nájdite množinu všetkých možných polôh majáku a dokážte, že pre každý bod nájdenej množiny taký trojuholník existuje.

Series má postupnosť reálnych čísel $\{a_n\}_1^\infty$ takú, že $a_1=3$ a $a_{n+1} = a_n(a_n-1) +1$ pre všetky kladné celé čísla $n$. Dokážte, že
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2026^{2026}} < \sum^{2026}_{i=1} \frac{1}{a_i} < \frac{1}{2}.\]

Sparťania majú na mape zvolených 2026 bodov. Zistili, že keď zvolia ľubovoľných 17, je medzi nimi 11 bodov takých, že ich vedia zakryť kruhom s priemerom 1. Aténčania si priniesli kruhy s priemerom 2. Nájdite najmenší počet aténskych kruhov, ktorý vždy stačí na pokrytie všetkých 2026 bodov.

Funkciotos sa hrá s funkciou $f(x)=x^2 - 33x + 19$. Nájdite všetky celé čísla $n \ge 2$, pre ktoré práve jedno z čísel $f(1),f(2),\dots,f(n)$ je deliteľné číslom $n$.

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

Nájdite všetky prirodzené čísla $n$ také, že všetky tri čísla $2n^{2}+1$, $3n^{2}+1$ a $6n^{2}+1$ sú druhými mocninami celých čísel.

Nech $p,q$ sú reálne čísla také, že rovnica $x^3+px+q=0$ má tri rôzne reálne riešenia. Dokážte, že potom platí $p\le0$.

Vodka a Tomáško hrajú hru na plániku $2018\times2$. Obaja majú $2\times1$ domino bloky, ktoré postupne po jednom pokladajú na plánik (v ťahoch sa striedajú a hráč musí v ťahu položiť blok na plán). Tomáško začína a môže pokladať bloky len v horizontálnom smere (ten, v ktorom má plánik rozmer 2018). Vodka môže pokladať bloky len vo vertikálnom smere. Hráč, ktorý nevie spraviť ťah, prehráva. Zistite, pre ktorého z hráčov existuje výherná stratégia.

Kružnica so stredom v bode $I$ je vpísaná do štvoruholníka $ABCD$. Polpriamky $BA$ a $CD$ sa pretínajú v bode $P$, polpriamky $AD$ a $BC$ sa pretínajú v bode $Q$. Za predpokladu, že $P$ leží na kružnici opísanej trojuholníku $AIC$ dokážte, že $Q$ tiež leží na tejto kružnici.

Nájdite najmenšie prvočíslo, ktoré sa nedá zapísať v tvare $|2^a-3^b|$, kde $a$, $b$ sú nezáporné celé čísla.

Nájdite všetky funkcie $f:\langle 0,+\infty) \rightarrow \langle 0,+\infty)$, ktoré vyhovujú súčasne nasledujúcim trom podmienkam:
1. pre ľubovoľné nezáporné reálne čísla $x$, $y$ také, že $x+y>0$, platí rovnosť $f(x\cdot f(y))\cdot f(y) = f(xy/(x+y))$,
2. $f(1) = 0$,
3. $f(x) > 0$ pre ľubovoľné $x>1$.

42. ročník - letný semester

2. séria

1. ÚLOHA

2. ÚLOHA

3. ÚLOHA

4. ÚLOHA

5. ÚLOHA

6. ÚLOHA