1. séria

Nech $a$, $b$, $c$ sú dĺžky strán trojuholníka $ABC$ ($a$ oproti $A$, $b$ oproti $B$ a $c$ oproti $C$). Navyše tieto dĺžky sú celočíselné a čísla $b$, $c$ sú nesúdeliteľné čísla. Nech $D$ je priesečník strany $BC$ a osi uhla $BAC$. Dokážte, že ak sú trojuholníky $DBA$ a $ABC$ podobné, tak $c$ je druhou mocninou celého čísla.

Nech $P_1(x)=x^2+a_{1}x+b_1$ a $P_2(x)=x^2+a_{2}x+b_2$ sú dva kvadratické polynómy s celočíselnými koeficientami. Platí, že $a_1\ne a_2$ a existujú rôzne celé čísla $m$, $n$ také, že $P_1(m)=P_2(n)$ a $P_1(n)=P_2(m).$ Dokážte, že $a_1-a_2$ je párne.

Na stretnutie prišlo $2k+1$ ľudí. Každí dvaja sa buď poznajú, alebo nepoznajú (vzťahy sú vzájomné). Pre každú skupinu práve $k$ ľudí existuje človek mimo tejto skupiny, ktorý v nej pozná každého. Dokážte, že na stretnutí je človek, ktorý pozná všetkých.

Nech $c$, $d$ sú dva delitele prirodzeného čísla $n$, pričom $c>d$. Dokážte, že $c>d+d^2/n$.

Daný je trojuholník $ABC$. Nech $k$ je jeho pripísaná kružnica, ktorá sa dotýka strany $BC$ v bode $K$ a polpriamok $AB$ a $AC$ sa dotýka v bodoch $L$ a $M$. Kružnica s priemerom $BC$ pretína úsečku $LM$ v bodoch $P$, $Q$, pričom $P$ leží medzi $L$ a $Q$. Dokážte, že polpriamky $BP$ a $CQ$ sa pretínajú v strede kružnice $k$.

Je možné napísať do každého políčka nekonečnej štvorčekovej tabuľky prirodzené číslo tak, aby pre každú dvojicu prirodzených čísel $m$, $n$ platilo, že súčet čísel v ľubovoľnom obdĺžniku $m\times n$ je deliteľný $m+n$? Poznámka: Tabuľka je nekonečná do všetkých štyroch smerov, môžeme si to predstaviť tak, že má riadky aj stĺpce očíslované celými číslami.