2. séria

Celé čísla $a,b,c$ spĺňajú rovnosť $a+b+c=bc$. Dokážte, že číslo $(a+b)(a+c)$ je deliteľné 4.

Deti sú rozdelené do 3 tímov -- červeného, zeleného a modrého. Na začiatku je v červenom tíme $c$ detí, v zelenom $z$ detí a v modrom $m$ detí. Keď sa stretnú dve deti z rôznych tímov, tak sa obaja pridajú k tímu tej farby, ktorú nemal ani jeden z nich. V závislosti od $c$, $m$, $z$ zistite, či je možné, aby po čase skončili všetky deti v jednom tíme.

Biliardový stôl má tvar obdĺžnika $ABCD$. Nech $XKLMNX$ je dráha biliardovej gule, ktorá sa z bodu $X$ dostane po odraze od všetkých štyroch strán biliardového stola naspäť na pôvodné miesto, t.j. body $K,L,M,N$ ležia postupne na stranách $AB,BC,CD,DA$. Dokážte, že $KLMN$ je rovnobežník a dĺžka cesty nezávisí od polohy bodu $X$. Vyjadrite ju.

Na tabuli je napísaných $n>3$ rôznych prirodzených čísel, ktoré sú nanajvýš $(n-1)!$. Pre každú dvojicu čísel $a>b$ na tabuli si do zošita zapíšeme čiastočný podiel (výsledok po celočíselnom delení) čísel $a$ a $b$. (Teda ak $a=47$ a $b=7$, tak si zapíšeme 6.) Dokážte, že sme si do zošita zapísali aspoň 2 rovnaké čísla.

Nech $\alpha$ je dané reálne číslo. Nájdite všetky funkcie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ také, že pre všetky reálne čísla $x$, $y$ platí $f(f(x+y)f(x-y))=x^2+\alpha yf(y).$

$ABCD$ je rovnobežník s ostrým uhlom $DAB$. Body $A,P,B,D$ ležia na jednej kružnici v tomto poradí. Priamky $AP$ a $CD$ sa pretínajú v bode $Q$. Bod $O$ je stred kružnice opísanej trojuholníku $CPQ$. Dokážte, že ak $D\ne O$, tak priamky $AD$ a $DO$ sú na seba kolmé.