3. séria

Dokážte, že $\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}$ nie je racionálne číslo pre žiadne celočíselné $n$.

Nech $a$, $b$, $c$, $x$, $y$ a $z$ sú nezáporné reálne čísla také, že $a^2+b^2=c^2$ a $x^2+y^2=z^2$. Dokážte, že potom platí $(a+x{)}^2+(b+y{)}^2\le (c+z{)}^2$ a zistite, kedy nastáva rovnosť.

Máme šachovnicu $n\times n$. Niektoré políčka (okrem ľavého horného a pravého dolného rohu) nafarbíme na červeno tak, že šachový kôň sa nevie dostať z ľavého horného rohu do pravého dolného rohu bez toho, aby musel stúpiť na červené políčko. Zistite, pre ktoré $n$ platí, že pri ľubovoľnom takomto ofarbení vieme nájsť tri po sebe idúce políčka na nejakej diagonále (berieme do úvahy všetky diagonály, nielen uhlopriečky štvorca) také, že aspoň dve z nich sú červené.

Lichobežník $ABCD$ je vpísaný do kružnice tak, že základňa lichobežníka $AB$ je jej priemer. Označme $E$ priesečník uhlopriečok lichobežníka $ABCD$, $S$ stred úsečky $AB$ a zostrojíme bod $X$ tak, aby bol $ASEX$ rovnobežník. Ukážte, že $|XA|=|XD|$.

Dokážte, že ak funkcia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ spĺňa nerovnosti $f(x)\le x$ a $f(x+y)\le f(x)+f(y)$ pre všetky $x$, $y$ reálne čísla, potom $f(x)=x$ pre všetky reálne $x$.

V škole sa niektoré dvojice žiakov kamarátia a niektoré nie (kamarátstvo je obojstranné). Tímom nazývame skupinu práve $20$ ľudí, v ktorej sa všetci navzájom kamarátia. Každý žiak je členom nejakého tímu, ale keď zrušíme ľubovoľné kamarátstvo, tak vždy bude existovať aspoň jeden žiak, ktorý nie je v žiadnom tíme. Tím, ktorý obsahuje žiaka, ktorý má kamarátov len v tomto tíme, nazveme "tím so stredom" Dokážte, že pre ľubovoľnú dvojicu žiakov, ktorí sa kamarátia, existuje tím so stredom, ktorého sú obaja členmi.