Okolo okrúhleho stola sedí $2n$ Grékov, z toho polovica Sparťania a polovica Aténčania. Koľko najviac Grékov v závislosti od $n$ môže sedieť vedľa Aténčana?

Series sa hrá s konečnými postupnosťami kladných celých čísel, a to tak, že do nich na ľubovoľné miesto vkladá alebo z ľubovoľného miesta odoberá dve zhodné susediace podpostupnosti. Napríklad z (5, 4) vie vyrobiť (5, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4) a naopak, alebo z (1) vie vyrobiť (1, 1, 1, 1, 1) a naopak. Dokážte, že Series vie z ľubovoľnej konečnej postupnosti spraviť rastúcu.

Prístav je tvaru štvorca $ABCD$. Lumomoros chce postaviť maják v bode $M$ a to tak, aby existoval rovnoramenný pravouhlý trojuholník $AMN$ s pravým uhlom pri vrchole $M$ a bod $N$ ležal na strane $CD$. Nájdite množinu všetkých možných polôh majáku a dokážte, že pre každý bod nájdenej množiny taký trojuholník existuje.

Series má postupnosť reálnych čísel $\{a_n\}_1^\infty$ takú, že $a_1=3$ a $a_{n+1} = a_n(a_n-1) +1$ pre všetky kladné celé čísla $n$. Dokážte, že
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2026^{2026}} < \sum^{2026}_{i=1} \frac{1}{a_i} < \frac{1}{2}.\]

Sparťania majú na mape zvolených 2026 bodov. Zistili, že keď zvolia ľubovoľných 17, je medzi nimi 11 bodov takých, že ich vedia zakryť kruhom s priemerom 1. Aténčania si priniesli kruhy s priemerom 2. Nájdite najmenší počet aténskych kruhov, ktorý vždy stačí na pokrytie všetkých 2026 bodov.

Funkciotos sa hrá s funkciou $f(x)=x^2 - 33x + 19$. Nájdite všetky celé čísla $n \ge 2$, pre ktoré práve jedno z čísel $f(1),f(2),\dots,f(n)$ je deliteľné číslom $n$.

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

V tabuľke $25\times 25$ sú čísla $+1$ a $-1$. Nech $a_i$ je súčin čísel v $i$-tom riadku a $b_j$ je súčin čísel v $j$-tom stĺpci. Dokážte, že súčet $a_1+b_1+\dots+a_{25}+b_{25}$ nie je rovný nule.

Ukážte, že neexistuje aritmetická postupnosť s kladnou diferenciou s práve $3$, nie nutne po sebe nasledujúcimi, členmi z nekonečnej geometrickej postupnosti ${\{2^k\}}^\infty_{k=0}$.

V lichobežníku $ABCD$ sú $AB$ a $CD$ rovnobežné a navyše platí $|BC| = |AB|+|CD|$. Nech $F$ je stredom $AD$. Nájdite všetky možné veľkosti uhla $BFC$.

Máme trojuholník $ABC$ a na strane $AB$ vyznačíme bod $S$ tak, aby $|AS|=|BS|$. Následne označme $I_1$ stred kružnice vpísanej trojuholníku $CAS$ a $I_2$ stred kružnice vpísanej trojuholníku $CBS$. Označme $k_1$ kružnicu opísanú trojuholníku $AI_1C$ a $k_2$ kružnicu opísanú trojuholníku $BI_2C$. Dokážte, že $k_1$ a $k_2$ sa okrem bodu $C$ pretínajú na priamke $CS$.

Nájdite všetky trojice celých čísel $(a,\,b,\,c)$ také, že $3^a+3^b+3^c$ je druhou mocninou celého čísla.

Nájdite všetky funkcie $f(x)$ na reálnych číslach spĺňajúce $f(t^2 + u) = t\cdot f(t) + f(u)$ pre všetky reálne čísla $t$ a $u$.

43. ročník - letný semester

4. séria

1. ÚLOHA

2. ÚLOHA

3. ÚLOHA

4. ÚLOHA

5. ÚLOHA

6. ÚLOHA