1. séria

Dokážte, že ak sú $a$, $b$, $c$, $d$ reálne čísla a $ac=2(b+d)$, tak má aspoň jedna z rovníc $x^2+ax+b=0$ a $x^2+cx+d=0$ všetky korene reálne.

Majme trojuholník $ABC$, kde $AB$ je najdlhšia jeho strana. Zvoľme bod $D$ tak, aby sa nachádzal na opačnej polpriamke k $BA$, teda $B$ je medzi bodmi $A$ a $D$ a zároveň platí $|BC|=|BD|$. Dokážte, že trojuholník $ACD$ je tupouhlý.

Máme $n$ bodov v rovine. Môžeme urobiť to, že dva z nich vyberieme a následne obidva presunieme do stredu úsečky, ktorá ich spája. Body iba presúvame, žiaden z nich nezaniká. Zistite, pre ktoré $n$ je možné vždy presúvať dané body tak, aby všetky splynuli (boli v jednom bode).

Nájdite všetky polynómy $P(x)$ s reálnymi koeficientami, ktoré spĺňajú $(x^2-6x+8)\cdot P(x)=(x^2+2x)\cdot P(x-4)$ pre všetky reálne čísla $x$.

Majme $n^2$ bodov rozmiestnených do mriežky $n\times n$. Z nich náhodne vyberieme $2n$ bodov. Dva vybrané body sú spojené zelenou úsečkou, ak sú v rovnakom riadku, a červenou úsečkou, ak sú v rovnakom stĺpci. Dokážte, že existuje uzavretá lomená čiara s vrcholmi vo vybraných bodoch a so stranami tvorenými týmito úsečkami taká, že sa farby jej strán striedajú.

Prirodzené číslo $n$ nazveme chutné, ak pre ľubovoľné dve prirodzené čísla $a$, $b$ také, že $a+b=n$ platí, že aspoň jeden zo zlomkov $\frac{a}{b},\frac{b}{a}$ má konečný desatinný rozvoj. Existuje nekonečne veľa chutných čísel? Svoje riešenie odôvodnite.