Okolo okrúhleho stola sedí $2n$ Grékov, z toho polovica Sparťania a polovica Aténčania. Koľko najviac Grékov v závislosti od $n$ môže sedieť vedľa Aténčana?

Series sa hrá s konečnými postupnosťami kladných celých čísel, a to tak, že do nich na ľubovoľné miesto vkladá alebo z ľubovoľného miesta odoberá dve zhodné susediace podpostupnosti. Napríklad z (5, 4) vie vyrobiť (5, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4) a naopak, alebo z (1) vie vyrobiť (1, 1, 1, 1, 1) a naopak. Dokážte, že Series vie z ľubovoľnej konečnej postupnosti spraviť rastúcu.

Prístav je tvaru štvorca $ABCD$. Lumomoros chce postaviť maják v bode $M$ a to tak, aby existoval rovnoramenný pravouhlý trojuholník $AMN$ s pravým uhlom pri vrchole $M$ a bod $N$ ležal na strane $CD$. Nájdite množinu všetkých možných polôh majáku a dokážte, že pre každý bod nájdenej množiny taký trojuholník existuje.

Series má postupnosť reálnych čísel $\{a_n\}_1^\infty$ takú, že $a_1=3$ a $a_{n+1} = a_n(a_n-1) +1$ pre všetky kladné celé čísla $n$. Dokážte, že
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2026^{2026}} < \sum^{2026}_{i=1} \frac{1}{a_i} < \frac{1}{2}.\]

Sparťania majú na mape zvolených 2026 bodov. Zistili, že keď zvolia ľubovoľných 17, je medzi nimi 11 bodov takých, že ich vedia zakryť kruhom s priemerom 1. Aténčania si priniesli kruhy s priemerom 2. Nájdite najmenší počet aténskych kruhov, ktorý vždy stačí na pokrytie všetkých 2026 bodov.

Funkciotos sa hrá s funkciou $f(x)=x^2 - 33x + 19$. Nájdite všetky celé čísla $n \ge 2$, pre ktoré práve jedno z čísel $f(1),f(2),\dots,f(n)$ je deliteľné číslom $n$.

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

Nech $ABCD$ je štvoruholník, v ktorom existuje kružnica, ktorá prechádza stredmi všetkých strán tohto štvoruholníka. Dokážte, že $AC$ a $BD$ sú na seba kolmé.

Máme riadok, v ktorom je 1000 čísel. Pod tento riadok pridáme ďalší tak, že pod každým číslom $a$ je napísaná hodnota $f(a)$, kde $f(a)$ je počet výskytov čísla $a$ v predchádzajúcom riadku. Takto postupne pridávame ďalšie riadky. Dokážte, že po pridaní dostatočného počtu riadkov budú pod sebou dva rovnaké riadky.

Je daná rovnica $x!y!z!=t!$, kde $x$, $y$, $z$, $t$ sú prirodzené čísla väčšie ako jedna. Ukážte, že existuje nekonečne veľa štvoríc $(x,y,z,t)$, ktoré spĺňajú túto rovnicu. 
Pozn.: $n!$ je číslo $n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot 2\cdot 1$.

Majme $n$ nenulových čísel, ktorých súčet je 0. Ukážte, že je možné ich očíslovať tak, aby platila nerovnosť: $$a_1a_2 + a_2a_3 + \dots + a_na_1 < 0.$$

Dokážte, že ľubovoľné celé číslo môže byť napísané ako súčet 5 tretích mocnín celých čísel.

Nech $ABC$ je ostrouhlý trojuholník s $|AB|<|AC|$. Nech $M$, $N$ sú postupne stredy strán $AB$ a $AC$ a nech $AD$ je výška v tomto trojuholníku. Na úsečke $MN$ zvolíme taký bod $K$, že $|BK|=|CK|$. Polpriamka $KD$ pretína kružnicu opísanú trojuholníku $ABC$ v bode $Q$. Dokážte, že body $C$, $N$, $K$, $Q$ ležia na jednej kružnici.

43. ročník - zimný semester

2. séria

1. ÚLOHA

2. ÚLOHA

3. ÚLOHA

4. ÚLOHA

5. ÚLOHA

6. ÚLOHA