Okolo okrúhleho stola sedí $2n$ Grékov, z toho polovica Sparťania a polovica Aténčania. Koľko najviac Grékov v závislosti od $n$ môže sedieť vedľa Aténčana?

Series sa hrá s konečnými postupnosťami kladných celých čísel, a to tak, že do nich na ľubovoľné miesto vkladá alebo z ľubovoľného miesta odoberá dve zhodné susediace podpostupnosti. Napríklad z (5, 4) vie vyrobiť (5, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4) a naopak, alebo z (1) vie vyrobiť (1, 1, 1, 1, 1) a naopak. Dokážte, že Series vie z ľubovoľnej konečnej postupnosti spraviť rastúcu.

Prístav je tvaru štvorca $ABCD$. Lumomoros chce postaviť maják v bode $M$ a to tak, aby existoval rovnoramenný pravouhlý trojuholník $AMN$ s pravým uhlom pri vrchole $M$ a bod $N$ ležal na strane $CD$. Nájdite množinu všetkých možných polôh majáku a dokážte, že pre každý bod nájdenej množiny taký trojuholník existuje.

Series má postupnosť reálnych čísel $\{a_n\}_1^\infty$ takú, že $a_1=3$ a $a_{n+1} = a_n(a_n-1) +1$ pre všetky kladné celé čísla $n$. Dokážte, že
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2026^{2026}} < \sum^{2026}_{i=1} \frac{1}{a_i} < \frac{1}{2}.\]

Sparťania majú na mape zvolených 2026 bodov. Zistili, že keď zvolia ľubovoľných 17, je medzi nimi 11 bodov takých, že ich vedia zakryť kruhom s priemerom 1. Aténčania si priniesli kruhy s priemerom 2. Nájdite najmenší počet aténskych kruhov, ktorý vždy stačí na pokrytie všetkých 2026 bodov.

Funkciotos sa hrá s funkciou $f(x)=x^2 - 33x + 19$. Nájdite všetky celé čísla $n \ge 2$, pre ktoré práve jedno z čísel $f(1),f(2),\dots,f(n)$ je deliteľné číslom $n$.

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

Majme dotyčnicový štvoruholník $ABCD$ rozdelený uhlopriečkou $AC$ na 2 trojuholníky. Dokážte, že kružnica vpísaná trojuholníku $ABC$ sa dotkne úsečky $AC$ v rovnakom bode ako kružnica vpísaná trojuholníku $ADC$.

Majme štvorcovú tabuľku s rozmermi $n \times n$. Každé políčko tabuľky je zafarbené červenou, zelenou alebo žltou farbou. Bez toho, aby sme videli tabuľku, si musíme tipnúť, či je v nej párny alebo nepárny počet červených políčok. Čo si máme tipnúť v závislosti od $n$, aby sme mali väčšiu šancu, že si tipneme správne? Vieme, že každé možné ofarbenie tabuľky je rovnako pravdepodobné.

Konvexný 2020-uholník má všetky svoje vrcholy v mrežových bodoch (teda majú celočíselné súradnice) a má celočíselné strany. Dokážte, že obvod tohto útvaru je párne číslo.

Medzi všetkými nezápornými číslami reprezentovanými vzťahom $36^k-5^l$, kde $k$ a $l$ sú kladné celé čísla, nájdite najmenšie. Svoje tvrdenie dokážte.

V rovine je bod s celočíselnými súradnicami $[x,y]$, avšak tieto súradnice nepoznáme. Poznáme však hodnoty výrazov $x^2+y$ a $y^2+x$, pričom tieto hodnoty sú rôzne. Dokážte, že s týmito informáciami vieme jednoznačne určiť súradnice hľadaného bodu.

Majme $k$ prepínačov v rade. Každý prepínač ukazuje hore, doprava, dole alebo doľava. Ak tri susedné prepínače ukazujú rôznymi smermi, prepneme všetky tri do štvrtého smeru. Ak by v jednom momente bolo viac takýchto trojíc, prepneme tú najviac naľavo. Ukážte, že sa proces zastaví.

44. ročník - letný semester

1. séria

1. ÚLOHA

2. ÚLOHA

3. ÚLOHA

4. ÚLOHA

5. ÚLOHA

6. ÚLOHA