2. séria

Majme čísla od $1$ do $n$. Pre každé $n$ nájdite najväčšie $k$ také, že naše čísla vieme rozdeliť do $k$ skupín s rovnakým súčtom.

Majme rovnostranný trojuholník. Každá jeho strana je rozdelená na $k$ rovnakých častí pomocou $k-1$ bodov. Týmito bodmi veďme rovnobežky so zvyšnými dvoma stranami trojuholníka. Takto vznikne trojuholníková sieť zložená z $k^2$ menších trojuholníkových políčok. Nazvime reťaz takú sekvenciu políčok, že každé políčko je v nej zahrnuté maximálne raz a po sebe nasledujúce políčka majú spoločnú stranu. Aká je najdlhšia možná reťaz?

Každé z čísel $a_1,a_2,\dots ,a_n$ je rovné $1$ alebo $-1$ a platí $a_1{a}_2{a}_3{a}_4+a_2{a}_3{a}_4{a}_5+a_3{a}_4{a}_5{a}_6+\cdots +a_{n-1}{a}_n{a}_1{a}_2+a_n{a}_1{a}_2{a}_3=0$ Dokážte, že $n$ je deliteľné 4.

Je daný štvorsten $ABCD$. Po úsečke $AB$ sa pohybuje bod $X$. Označme $P$ pätu výšky spustenej z bodu $D$ na priamku $CX$. Určte množinu bodov $P$, ktoré vyhovujú zadaniu.

Nájdite najväčšie číslo $p$ také, že je možné na šachovnicu $2019\times 2019$ umiestniť $p$ pešiakov a $p+2019$ veží tak, aby sa žiadne dve veže neohrozovali. (Dve veže sa ohrozujú, ak sú v tom istom riadku alebo stĺpci a všetky políčka medzi nimi sú prázdne).

Nech $ABC$ je ostrouhlý nerovnoramenný trojuholník, $M$ je stred strany $BC$ a $AD$ je os uhla pri vrchole $A$, pričom $D$ leží na strane $BC$. Kružnica opísaná trojuholníku $ADM$ pretína $AB$ v bode $E$ a $AC$ v bode $F$. Bod $I$ je stred $EF$ a $MI$ pretína priamky $AB$ v bode $X$ a $AC$ v bode $Y$. Dokážte, že $AXY$ je rovnoramenný.