1. séria

Baník sa nachádza na kocke. Každú minútu sa rozhodne, či prejde do niektorého vrcholu, ktorý susedí hranou s vrcholom, kde sa práve nachádza, alebo sa prevŕta do vrcholu, ktorý je presne oproti. Baník sa vždy rozhodne náhodne s rovnakou pravdepodobnosťou pre každú voľbu nasledujúceho vrcholu. Aká je pravdepodobnosť, že sa po $2019$ minútach bude nachádzať vo vrchole, ktorý je presne oproti počiatočnému vrcholu?

Dokážte, že pre všetky $x\in \mathbb{R}$, pre všetky celé kladné $n$ a pre ľubovoľné rozdelenie znamienok $+$ a $-$ vo výrazoch $\pm$ platí $x^{2n}\pm x^{2n-1}+x^{2n-2}\pm x^{2n-3}+x^{2n-4}\pm \cdots \pm x+1>\frac{1}{2}.$

Majme deku s rozmermi $3\times 3$ metre ofarbenú troma farbami. Ukážte, že vieme zapichnúť dvojzubec do deky tak, že hroty dvojzubca prepichnú deku na miestach s rovnakou farbou. Predpokladáme, že hrot je jeden bod a že vzdialenosť hrotov dvojzubca je $1\text{cm}$.

Dokážte, že ak $a$, $b$ sú korene polynómu $x^2-8x+1$, tak potom pre všetky nezáporné celé čísla $n$ platí, že $a^n+b^n$ je celé číslo nedeliteľné siedmimi.

Daná je úsečka $PQ$ a kružnica $k$ s priemerom aspoň $|PQ|$. Tetiva $AB$ taká, že $|AB|=|PQ|$, sa hýbe po kružnici $k$. Pre každú polohu tetivy $AB$ označíme ako $T$ priesečník osí úsečiek $AP$ a $BQ$, ak existuje práve jeden. Dokážte, že všetky možné body $T$ ležia na jednej priamke.

Každý bod v rovine s celočíselnými súradnicami je ofarbený buď červenou alebo modrou farbou tak, aby boli splnené podmienky: