2. séria

Určte, pre ktoré kladné celé čísla $n$ existuje tabuľka $n\times n$ obsahujúca $n^2$ kladných celých čísel, pre ktorú platí, že pre ľubovoľnú voľbu $i$ a $j$ (môžu nadobúdať hodnoty od $1$ po $n$) je v políčku v $i$-tom riadku a $j$-tom stĺpci počet všetkých hodnôt $j$, ktoré sa vyskytujú v $i$-tom stĺpci.

Mihál nemá rád čísla s prívlastkom. Má však rád také kladné celé čísla $m$, pre ktoré je každé z čísel $m$, $m+1$, $m+2$ a $m+3$ deliteľné svojim ciferným súčtom. Dokážte, že ak posledná cifra v takomto čísle je $8$, tak potom predposledná cifra tohto čísla je nutne $9$.

Majme štvorec $ABCD$, ktorý má nad stranou $AB$ zostrojenú polkružnicu vo vnútri štvorca $ABCD$. K tejto polkružnici veďme dotyčnicu prechádzajúcu bodom $C$ rôznu od priamky $CB$ a označme jej bod dotyku $F$. Prienik úsečky $BD$ a polkružnice označíme $E$. Aký je obsah trojuholníka $BEF$, ak je dĺžka strany štvorca $ABCD$ rovná $10$?

V odľahlej časti mesta stojí niekoľko rovnakých veží s kruhovým pôdorysom. Vandali sa rozhodujú, kde budú sprejovať, pričom na mape si vyznačia bod na obvode veže práve vtedy, keď z daného miesta nevidno žiadnu inú vežu. Dokážte, že celková dĺžka vyznačených oblastí je rovná obvodu jednej veže.

Dvaja hráči hrajú piškvorky na nekonečne veľkom trojuholníkovom papieri a striedajú sa v ťahoch. Ten, kto je na ťahu, vždy nakreslí svoju značku do niektorého voľného políčka. Vyhrá hráč, ktorý má ako prvý neprerušovanú rovnú radu (smerujúcu jedným z troch možných smerov v mriežke) aspoň $n$ svojich znakov, kde $n$ je nejaké prirodzené číslo. V závislosti na $n$ určte, kto má vyhrávajúcu alebo neprehrávajúcu stratégiu.

Nájdite všetky funkcie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ také, že pre všetky reálne čísla $x,y$ platí: $f(xy+f(x))=xf(y)$.