1. séria

Majme ostrouhlý trojuholník $ABC$ s obvodom $20$. Kružnica, ktorej stred je priesečníkom osí vonkajších uhlov trojuholníka pri vrcholoch $A,B$, sa dotýka polpriamky $CA$ v bode $D$. Aká je dĺžka úsečky $CD$?

Robo a Mišo hrajú hru a striedajú sa v ťahoch, pričom Robo začína. V každom ťahu hráč vyberie číslo od 1 do 5 (vrátane) a napíše ho. Hra skončí, keď hráči napísali spolu $n$ čísel. Mišo vyhrá hru, ak je na konci hry súčet všetkých napísaných čísel násobok 9, a Robo vyhrá, ak nie je. V závislosti od $n$ zistite, kto hru vyhrá, ak obaja hrajú najlepšie, ako vedia.

Na ostrove žije 47 poctivcov a 23 podvodníkov. Každého z nich požiadame, aby nám napísal mená niekoľkých poctivcov (môžu napísať aj vlastné meno). Vieme, že poctivci napísali iba poctivcov, podvodníci však mohli, ale nemuseli, napísať aj podvodníkov. Dokážte, že ak je na každom zozname práve 23 rôznych mien, vieme zistiť meno aspoň jedného poctivca.

Nech $n$ je kladné celé číslo. Zoraďme vzostupne podľa hodnoty všetky zlomky $0<p/q<1$ v základnom tvare (čitateľ aj menovateľ sú kladné celé čísla) také, že $q\le n$. Ukážte, že postupnosť čísel (nie cifier) v ich menovateľoch je rovnaká spredu aj zozadu.

Je daná $n\times n$ tabuľka, pričom $n$ je nepárne kladné celé číslo. Každá z $2n(n+1)$ jednotkových úsečiek ohraničujúcich jednotkové štvorce je buď modrá, alebo červená. Vieme, že najviac $n^2$ úsečiek je červených. Dokážte, že existuje jednotkový štvorec tabuľky, ktorého hranice pozostávajú z aspoň troch modrých úsečiek.

Daný je trojuholník $ABC$. Priamka rovnobežná so stranou $BC$ pretína strany $AB$ a $AC$ postupne v bodoch $P$ a $Q$. Nech $M$ je vnútorný bod trojuholníka $APQ$. Úsečky $MB$ a $MC$ pretínajú úsečku $PQ$ postupne v bodoch $E$ a $F$. Označme $N$ druhý priesečník kružníc opísaných trojuholníkom $PMF$ a $QME$. Dokážte, že body $A$, $M$, $N$ ležia na jednej priamke.