1. séria

Pre každé celé číslo $n$ od $1$ do $100$ vrátane si na papier napíšeme najmenšie číslo, ktoré má práve $n$ deliteľov. Koľko z týchto čísel bude deliteľných troma?

Nech $P$ je konečná množina bodov v rovine, nie nutne vo všeobecnej polohe (t.j. môže sa stať, že na priamke leží tri a viac bodov). Predpokladajme, že množina $P$ spĺňa to, že v konvexnom obale každých piatich bodov (konvexný obal je najmenší konvexný útvar obsahujúci dané body), ale nie na jeho hranici, leží aspoň jeden ďalší bod. Dokážte, že potom každý konvexný päťuholník $Q$ určený bodmi z $P$ obsahuje aspoň jeden bod z $P$ vo vnútornom päťuholníku určenom uhlopriečkami päťuholníka $Q$.

Do školy chodí niekoľko chlapcov a dievčat. Existuje kladné celé číslo $k\ge 2$ také, že každý chlapec sa rozpráva s práve $k$ dievčatami a každé dievča sa rozpráva s práve $k$ chlapcami, pričom rozprávanie sa je vzájomné a chlapci ani dievčatá sa medzi sebou nerozprávajú. Keď sa žiak dozvie klebetu, povie ju všetkým žiakom, s ktorými sa rozpráva, a ak sú v škole všetci, dozvie sa každú klebetu každý. Dano, ktorý je jeden zo žiakov, dnes jediný neprišiel do školy. Ukážte, že aj tak sa klebeta od ľubovoľného žiaka v škole dostane ku každému inému žiakovi v škole.

Na kružnici $k$ ležia postupne body $A$, $X$, $B$, $C$ a $D$, pričom $|AX|=|BX|$. Nech $M$ je priesečník priamok $XC$ a $BD$ a nech $N$ je priesečník $XD$ a $AC$. Ďalej nech $K$ a $L$ sú body, v ktorých priamka $MN$ pretína kružnicu $k$. Dokážte, že $|KX|=|LX|$.

Majme kladné reálne čísla $x$, $y$, $z$, pre ktoré platí: $x+y+z\le 4$ a $xy+yz+zx\ge 4$. Ukážte, že aspoň 2 z nerovností $|x-y|\le 2$, $|y-z|\le 2$, $|z-x|\le 2$ platia.

Na úsečke $AC$ zvolíme ľubovoľne jej vnútorný bod $B$. Zostrojme postupne kružnice $k_1$, $k_2$, $k$ nad priemermi $AB$, $BC$, $AC$. Bodom $B$ veďme ľubovoľnú priamku $p$, ktorá pretína kružnicu $k$ v bodoch $P$, $Q$ a kružnice $k_1$, $k_2$ v bodoch $R$, $T$. Dokážte, že platí $|PR|=|QT|$.