2. séria

Mihál má váhu, na ktorú dáva kladné celé čísla. Na začiatku má na každej strane nejaké kladné celé číslo. V každom kroku zvolí ďalšie kladné celé číslo, ktoré pripočíta k číslu na ľavej strane a ktorým vynásobí číslo na pravej strane. Mihál je šťastný, ak sú po nejakom počte krokov obe čísla rovnaké. Ukážte, že ak je na začiatku na pravej strane váhy číslo $a\ge 2$, tak vie Mihál dosiahnuť rovnosť čísel vykonaním nanajvýš $a-1$ krokov.

Nájdite najmenšie reálne číslo $p$, pre ktoré pre ľubovoľnú dvojicu kladných reálnych čísel $a,b$ platí

Na stole je $m$ modrých a $z$ zelených kamienkov ($m$ a $z$ sú kladné celé čísla). Timka a Žanetka hrajú hru a striedajú sa v ťahoch, pričom Timka začína. Hráčka vo svojom ťahu odoberie $k$ kamienkov jednej farby zo stola, pričom $k$ musí byť deliteľ počtu kamienkov danej farby, ktoré sú pred začatím tohto ťahu na stole. Tá, ktorá zoberie posledný kamienok, vyhráva. Zistite, ktorá z nich má víťaznú stratégiu a popíšte ju.

Nech $n$ je kladné celé číslo. Obyčajný štvorec rádu $n$ je štvorec, v ktorom je v každom z $n^2$ políčok napísané nejaké číslo od $1$ do $n$. Stromácky štvorec rádu $n$ je obyčajný štvorec, v ktorom je v každom stĺpci a každom riadku každé číslo od $1$ do $n$ práve raz. Dva štvorce $S_1$ a $S_2$ rádu $n$ sa kamarátia, ak platí, že pre každú dvojicu kladných celých čísel $(a,b)$, $a,b\in \{1,\dots ,n\}$, nájdeme nejakú pozíciu $(i,j)$, $i,j\in \{1,\dots ,n\}$, v štvorci rádu $n$ takú, že $S_1$ má na políčku na pozícii $(i,j)$ číslo $a$ a $S_2$ má na políčku $(i,j)$ číslo $b$. Ukážte, že pre dané kladné celé čísla $m$ a $n$ platí: $m$ stromáckych štvorcov rádu $n$ takých, že sa každá dvojica kamaráti, existuje práve vtedy, keď existuje $m+2$ obyčajných štvorcov rádu $n$ takých, že sa každá dvojica kamaráti.

Sú dané navzájom rôzne body $A$, $B$, $C$, $D$ také, že uhly $ACB$ a $ADB$ sú pravé. Označme $E$ priesečník priamok $AC$ a $BD$ a $F$ priesečník priamok $AD$ a $BC$. Dokážte, že kružnice opísané trojuholníkom $ACF$ a $ADE$ sa pretínajú na priamke $AB$.

Nájdite všetky dvojice reálnych funkcií $l$, $r$ spĺňajúcich, že pre všetky reálne čísla $x$, $y$ platí $l(x-y)=l(x)r(y)+l(y)r(x).$