1. séria

Majme trojuholník $ABC$. Stredy strán $BC$, $AC$ a $AB$ sú označené postupne písmenami $D$, $E$ a $F$. Dve ťažnice $AD$ a $BE$ sú navzájom kolmé. Vieme, že $|AD|=3$ a $|BE|=4$. Vypočítajte dĺžku ťažnice $CF$ tohto trojuholníka.

Uvažujme polynóm $p(x)$ s celočíselnými koeficientami. Na grafe funkcie, ktorú určuje polynóm $p$, zvolíme dva body s celočíselnými súradnicami. Ukážte, že ak je vzdialenosť týchto bodov celočíselná, tak je úsečka, ktorá ich spája, rovnobežná s $x$-ovou osou.

Nájdite všetky dvojice prvočísel $(p,q)$, pre ktoré platí $p^3-q^5=(p+q{)}^2$.

Nech $ABCD$ je lichobežník so základňami $AD$ a $BC$ s uhlom veľkosti $\text{ang}120$ pri vrchole $A$. Nech $E$ je stred strany $AB$. Označme $O_1$ a $O_2$ postupne stredy kružníc opísaných trojuholníkom $AED$ a $BEC$. Dokážte, že obsah lichobežníka $ABCD$ je $6$-krát väčší ako obsah trojuholníka $E{O}_1{O}_2$.

Nájdite všetky funkcie $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ také, že pre všetky celé čísla $x$, $y$ platí $f(x-y+f(y))=f(x)+f(y).$

Nápoveda: Vyjadrite dvoma spôsobmi výraz $f(x+f(y))$ a potom ukážte, že platí $f(x+y)=f(x)+f(y)$.

Kubo hrá hru, v ktorej si na začiatku zapíše ľubovoľné kladné celé číslo $n$. V každom ťahu môže svoje aktuálne číslo nahradiť za nové podľa nasledujúceho pravidla: ak má zapísané číslo $a+b$, kde $a$ aj $b$ sú kladné celé čísla, potom môže toto číslo nahradiť číslom $a\cdot b$. Predpokladajme, že Kubo začína s kladným celým číslom $n\ge 5$, a majme dané kladné celé číslo $m$. Ukážte, že existuje postupnosť krokov, ktoré povedú k tomu, že Kubo bude mať zapísané číslo $m$.

Nápoveda: Je to ľahké.