2. séria

Cifry prirodzeného čísla sme preusporiadali a číslo, ktoré vzniklo, sme pripočítali k pôvodnému.

Do hlavičky vášho riešenia pridajte odhad času, ktorý ste strávili premýšľaním nad touto úlohou.

Majme funkciu $f$ definovanú na nezáporných celých číslach s hodnotami v množine celých čísel spĺňajúcu:

$f(n)=$ { $-f\left(\frac{n}{2}\right)$ ak $n$ je párne,

$f(n-1)+1$ ak $n$ je nepárne.

Nájdite najmenšie nezáporné celé číslo $n$, pre ktoré je $f(n)=2022$.

Do hlavičky vášho riešenia pridajte odhad času, ktorý ste strávili premýšľaním nad touto úlohou.

Kladné celé číslo $n$ zafarbíme načerveno, ak ho vieme zapísať ako $n=a_1+a_2+...+a_k$, kde $k$ a všetky $a_i$ sú kladné celé čísla a spĺňajú, že $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_k}=1$. Ak viete, že všetky čísla od $33$ po $73$ sú zafarbené načerveno, dokážte, že aj všetky čísla väčšie ako $73$ už musia byť červené.

Do hlavičky vášho riešenia pridajte odhad času, ktorý ste strávili premýšľaním nad touto úlohou.

V rovine máme konvexný $3n-1$ uholník, kde $n\ge 2$ je kladné celé číslo. Každú úsečku medzi dvoma jeho vrcholmi zafarbíme buď namodro, alebo načerveno. Ukážte, že existuje $n$ disjunktných (nemôžu zdieľať žiaden bod) modrých alebo červených úsečiek.

Do hlavičky vášho riešenia pridajte odhad času, ktorý ste strávili premýšľaním nad touto úlohou.

Je daný pravý uhol $AMB$. Zostrojte rovnostranný trojuholník $KLM$ tak, aby vzdialenosť $K$ od priamky $MA$ bola dvakrát väčšia ako vzdialenosť $L$ od priamky $BM$. Svoju konštrukciu popíšte a zdôvodnite jej korektnosť.

Nápoveda: Vytvorte kópiu otočenú o $\text{SI}90°$.

Do hlavičky vášho riešenia pridajte odhad času, ktorý ste strávili premýšľaním nad touto úlohou.

Nájdite všetky nepárne kladné celé čísla $m$, pre ktoré postupnosť $a_k$, $k=0,1,\dots$, definovaná predpisom $a_0=\frac{1}{2}(2m+1)$ a $a_{k+1}=a_k\lfloor a_k\rfloor$ pre $k\ge 0$ obsahuje aspoň jedno celé číslo.

Nápoveda: Každý neceločíselný člen postupnosti je v tvare $\frac{8l+z}{2}$, kde $z$ je 1, 3, 5 alebo 7. Všetky prípady okrem $z=3$ sú priamočiare, tam sa skúste pozrieť na najvyššiu mocninu 2, ktorá delí $l$.

Do hlavičky vášho riešenia pridajte odhad času, ktorý ste strávili premýšľaním nad touto úlohou.