1. séria

Nech $a$ a $b$ sú kladné celé čísla a $c$ je kladné reálne číslo, pre ktoré platí: $\frac{a+1}{b+c}=\frac{b}{a}.$ Dokážte, že $c\ge 1$.

Nech $m$ je kladné celé číslo. Označme $a<b<c<d$ štyroch najmenších kladných deliteľov $m$. Nájdite všetky také $m$, pre ktoré platí $m=a^2+b^2+c^2+d^2$.

Nech $ABC$ je trojuholník a $a$, $b$, $c$ sú postupne dĺžky jeho strán oproti vrcholom $A$, $B$ a $C$. Nech $S$ je obsah tohto trojuholníka. Dokážte, že ak $P$ je bod vo vnútri trojuholníka $ABC$, pre ktorý platí $a|PA|+b|PB|+c|PC|=4S$, tak potom $P$ je ortocentrum $ABC$.

V tabuľke $10\times 10$ sú napísané všetky čísla od $1$ do $100$, v každom políčku práve jedno. V každom riadku zafarbíme tretie najväčšie číslo. Ukážte, že existuje riadok, v ktorom je súčet čísel menší alebo rovný súčtu zafarbených čísel.

Nech $p\ge 3$ je prvočíslo. Skokan Jozef skáče po $p$ kameňoch usporiadaných do kruhu. Začína na niektorom z kameňov a v $k$-tom skoku sa posunie o $k$ kameňov v smere hodinových ručičiek. Koľko rôznych kameňov navštívi počas prvých $p-1$ skokov?

Nápoveda: Ak skokan začína na kameni s číslom $0$, tak po $k$-tom skoku sa nachádza na kameni s číslom $1+2+\cdots +k\mathrm{mod}p$. Nájdite všetky dvojice čísel $k_1<k_2$, pre ktoré $1+\cdots +k_1$ a $1+\cdots +k_2$ dávajú rovnaký zvyšok po delení $p$.

Štvorsten $ABCD$, ktorého každá stena je ostrouhlý trojuholník, je vpísaný do sféry so stredom v bode $O$. Priamka prechádzajúca bodom $O$ kolmá na rovinu $ABC$ pretína túto sféru v bode $D^{\prime }$, ktorý leží na opačnej strane roviny $ABC$ ako bod $D$. Priamka $D{D}^{\prime }$ pretína rovinu $ABC$ v bode $P$, ktorý leží vnútri trojuholníka $ABC$. Dokážte, že ak $|\angle APB|=2|\angle ACB|$, tak $|\angle AD{D}^{\prime }|=|\angle BD{D}^{\prime }|$.

Nápoveda: Dokážte, že body $A$, $B$ a $C$ jednoznačne určujú polohu roviny $ABD$. Ďalej dokážte, že kolmý priemet $D^{\prime }$ do roviny $ABD$ leží na zadanej sfére.