2. séria

Žanetka má dve spravodlivé hracie kocky (všetky čísla na nich padajú s rovnakou pravdepodobnosťou). Kristín má dve špeciálne hracie kocky, ktoré nie sú spravodlivé, ale sú totožné (napríklad, ak na jednej padá šestka s pravdepodobnosťou $1/2$, tak aj na druhej). Zistite, ktorá z nich má vyššiu šancu hodiť dve rovnaké čísla.

Mihál a Martin hrajú hru na štvorcovej mriežke $6\times 6$. Vo svojom ťahu každý hráč zapíše do ľubovoľnej prázdnej bunky ľubovoľné racionálne číslo, ktoré sa ešte nenachádza nikde v mriežke. Začína Mihál a potom sa pravidelne striedajú. Keď budú vyplnené všetky políčka mriežky, v každom riadku sa zafarbí políčko s najväčším číslom. Mihál vyhrá, ak vie spojiť prvý a posledný rad čiarou prechádzajúcou len po zafarbených políčkach (čiara môže prechádzať aj rohom, ktorým susedia dve zafarbené políčka) a Martin vyhrá, ak mu v tom zabráni. Kto má v tejto hre víťaznú stratégiu a akú?

Nech $ABC$ je trojuholník s $|AC|>|AB|$ a $U$ je stred kružnice opísanej tomuto trojuholníku. Dotyčnice ku kružnici opísanej tomuto trojuholníku v bodoch $A$ a $B$ sa pretínajú v bode $T$. Os strany $BC$ pretína stranu $AC$ v bode $S$. Ukážte, že body $A,B,S,T$ a $U$ ležia na kružnici a že priamka $ST$ je rovnobežná s priamkou $BC$.

Dokážte, že neexistuje prvočíslo $p$, pre ktoré by existoval polynóm $p{x}^2+ax+b$ v premennej $x$ s celočíselnými koeficientami $a$, $b$ a dvoma rôznymi racionálnymi koreňmi v intervale $(0,1)$.

Nájdite všetky funkcie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ také, že pre všetky reálne čísla $x$ a $y$ platí $f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor$, kde $\lfloor x\rfloor$ je najväčšie celé číslo menšie alebo rovné $x$.

Nápoveda: Rozoberte možné hodnoty $f(0)$, $f(1)$, $\lfloor f(0)\rfloor$ a $\lfloor f(1)\rfloor$. Ukážte, že vyhovujú iba niektoré konštantné funkcie.

Po štvorcovej tabuľke $(4k+2)\times (4k+2)$ sa pohybuje prefíkaný leňochod len medzi štvorčekmi susediacimi hranou. Leňochod spraví nasledovnú prechádzku: začne v rohovom štvorčeku tabuľky, prejde každým štvorčekom práve raz a skončí na mieste, kde začal. V závislosti od $k$ určte najväčšie prirodzené číslo $n$ také, že v tabuľke musí existovať riadok alebo stĺpec, do ktorého leňochod vstúpil aspoň $n$-krát (vstúpiť do riadku/stĺpca znamená presunúť sa z iného riadku/stĺpca do tohto riadku/stĺpca).

Nápoveda: Ukážte, že sa nemôže stať, aby do prvého riadku a zároveň aj do prvého stĺpca vchádzalo $2k+1$ krokov. Následne ukážte, že pre $2k+2$ existuje vyhovujúca trasa.