Okolo okrúhleho stola sedí $2n$ Grékov, z toho polovica Sparťania a polovica Aténčania. Koľko najviac Grékov v závislosti od $n$ môže sedieť vedľa Aténčana?

Series sa hrá s konečnými postupnosťami kladných celých čísel, a to tak, že do nich na ľubovoľné miesto vkladá alebo z ľubovoľného miesta odoberá dve zhodné susediace podpostupnosti. Napríklad z (5, 4) vie vyrobiť (5, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4) a naopak, alebo z (1) vie vyrobiť (1, 1, 1, 1, 1) a naopak. Dokážte, že Series vie z ľubovoľnej konečnej postupnosti spraviť rastúcu.

Prístav je tvaru štvorca $ABCD$. Lumomoros chce postaviť maják v bode $M$ a to tak, aby existoval rovnoramenný pravouhlý trojuholník $AMN$ s pravým uhlom pri vrchole $M$ a bod $N$ ležal na strane $CD$. Nájdite množinu všetkých možných polôh majáku a dokážte, že pre každý bod nájdenej množiny taký trojuholník existuje.

Series má postupnosť reálnych čísel $\{a_n\}_1^\infty$ takú, že $a_1=3$ a $a_{n+1} = a_n(a_n-1) +1$ pre všetky kladné celé čísla $n$. Dokážte, že
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2026^{2026}} < \sum^{2026}_{i=1} \frac{1}{a_i} < \frac{1}{2}.\]

Sparťania majú na mape zvolených 2026 bodov. Zistili, že keď zvolia ľubovoľných 17, je medzi nimi 11 bodov takých, že ich vedia zakryť kruhom s priemerom 1. Aténčania si priniesli kruhy s priemerom 2. Nájdite najmenší počet aténskych kruhov, ktorý vždy stačí na pokrytie všetkých 2026 bodov.

Funkciotos sa hrá s funkciou $f(x)=x^2 - 33x + 19$. Nájdite všetky celé čísla $n \ge 2$, pre ktoré práve jedno z čísel $f(1),f(2),\dots,f(n)$ je deliteľné číslom $n$.

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

Dokážte, že skupinu ľubovoľných $2n$ cifier vieme rozdeliť na dve skupiny o veľkosti $n$ tak, že rozdiel súčtov čísel v týchto skupinách bude nanajvýš 9.

Určte všetky reálne čísla $p$ také, že pre ľubovoľné kladné reálne čísla $x$, $y$ platí nerovnosť: $$\frac{x^3+py^3}{x+y} \geq xy.$$

Nech $M$ je najmenšia množina racionálnych čísel, ktorá má nasledovné vlastnosti:

- $M$ obsahuje $\frac{1}{2}$.Ak $M$ obsahuje $\frac{p}{q}$, kde $p$ je celé číslo a $q$ je kladné celé číslo, tak obsahuje aj $\frac{p}{p+q}$ a $\frac{q}{p+q}$.

Dokážte, že množina $M$ obsahuje všetky racionálne čísla v intervale $(0,1)$.

Kladné celé číslo $n$ má práve $d$ deliteľov a zároveň sa medzi jeho deliteľmi nevyskytuje štvorec väčší než 1. Koľko najviac z týchto deliteľov (vzhľadom ku $n$ a $d$) môžeme vybrať tak, aby pre žiadne dva vybrané delitele $a$, $b$ nebol $a^2+ab-n$ nenulový štvorec?

Postupnosť $\{a_i\}^{\infty}_{i=1}$ spĺňa $a_1=0$ a pre každé $k\geq 1$ platí $|a_{k+1}|=|a_k+1|$. Dokážte, že pre všetky kladné celé čísla $n$ platí: $$\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}\geq -\frac{1}{2}.$$

Majme pravouhlý trojuholník $ABC$ s pravým uhlom pri vrchole $B$. Nech $BD$ je výška z vrcholu $B$ na stranu $AC$ (bod $D$ leží na $AC$). Ďalej označme $R$, $S$ a $T$ postupne stredy kružníc vpísaných trojuholníkom $ABD$, $CBD$ a $ABC$. Ukážte, že stred kružnice opísanej trojuholníku $RST$ leží na priamke $AC$.

47. ročník - letný semester

1. séria

1. ÚLOHA

2. ÚLOHA

3. ÚLOHA

4. ÚLOHA

5. ÚLOHA

6. ÚLOHA