2. séria

Pre kladné celé $n$ dokážte, že platí $(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{8})\dots (1+\frac{1}{n^2-1})<2$.

Majme konvexný štvoruholník $ABCD$. Označme $E$ stred strany $AB$ a $F$ stred strany $CD$. Pre tento štvoruholník platí, že $|EF|=\frac{|AD|+|BC|}{2}$. Dokážte, že strany $AD$ a $BC$ sú rovnobežné.

Anton a Beton hrajú hru s číslami od 1 do 2022. Na začiatku sú čísla zoradené zostupne. Anton má silu $A$ a Beton má silu $B$. Hráči sa striedajú v ťahoch, počnúc Antonom, a v každom ťahu si môže hráč so silou $M$ vybrať nejakých $M$ čísel a ľubovoľne ich preusporiadať. Beton chce rad čísel usporiadať vzostupne, Anton mu v tom chce zabrániť. Zistite, či sa to Betonovi podarí za konečný počet ťahov, ak sila Antona je $A=1000$ a Beton má silu

Majme úsečku $AB$ a bod $P$ v jej strede. Nech $T$ je bod dotyku dotyčnice vedenej z bodu $A$ ku kružnici s priemerom $PB$. Vyjadrite dĺžku úsečky $PT$ v závislosti od dĺžky $AB$.

Postupnosť $\{a_i{\}}_{i=1}^{\infty }$ spĺňa $a_1=1$ a $a_{k+1}=a_k^2+1$ pre všetky kladné celé čísla $k$. Dokážte, že existuje kladné celé číslo $n$ také, že $a_n$ je deliteľné prvočíslom, ktoré obsahuje viac ako 2022 cifier.

Nájdite všetky funkcie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ také, že $f(f(x)-y)=f(x)+f(f(y)-f(-x))+x$ pre všetky $x,y\in \mathbb{R}$.