Okolo okrúhleho stola sedí $2n$ Grékov, z toho polovica Sparťania a polovica Aténčania. Koľko najviac Grékov v závislosti od $n$ môže sedieť vedľa Aténčana?

Series sa hrá s konečnými postupnosťami kladných celých čísel, a to tak, že do nich na ľubovoľné miesto vkladá alebo z ľubovoľného miesta odoberá dve zhodné susediace podpostupnosti. Napríklad z (5, 4) vie vyrobiť (5, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4) a naopak, alebo z (1) vie vyrobiť (1, 1, 1, 1, 1) a naopak. Dokážte, že Series vie z ľubovoľnej konečnej postupnosti spraviť rastúcu.

Prístav je tvaru štvorca $ABCD$. Lumomoros chce postaviť maják v bode $M$ a to tak, aby existoval rovnoramenný pravouhlý trojuholník $AMN$ s pravým uhlom pri vrchole $M$ a bod $N$ ležal na strane $CD$. Nájdite množinu všetkých možných polôh majáku a dokážte, že pre každý bod nájdenej množiny taký trojuholník existuje.

Series má postupnosť reálnych čísel $\{a_n\}_1^\infty$ takú, že $a_1=3$ a $a_{n+1} = a_n(a_n-1) +1$ pre všetky kladné celé čísla $n$. Dokážte, že
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2026^{2026}} < \sum^{2026}_{i=1} \frac{1}{a_i} < \frac{1}{2}.\]

Sparťania majú na mape zvolených 2026 bodov. Zistili, že keď zvolia ľubovoľných 17, je medzi nimi 11 bodov takých, že ich vedia zakryť kruhom s priemerom 1. Aténčania si priniesli kruhy s priemerom 2. Nájdite najmenší počet aténskych kruhov, ktorý vždy stačí na pokrytie všetkých 2026 bodov.

Funkciotos sa hrá s funkciou $f(x)=x^2 - 33x + 19$. Nájdite všetky celé čísla $n \ge 2$, pre ktoré práve jedno z čísel $f(1),f(2),\dots,f(n)$ je deliteľné číslom $n$.

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

Majme trojuholník $ABC$. Stred strany $BC$ označme $E$ a stred strany $AC$ označme $D$. Aký je obsah trojuholníka $DEC$, ak $|CD| = 5$, $|DE|=5$ a $|AE|=8$?

Majme nezáporné reálne čísla $a$ a $b$, pre ktoré platí $a+b=1$. Dokážte, že platí:
$$ \frac{1}{2} \leq \frac{a^3 + b^3}{a^2 + b^2} \leq 1$$ a nájdite všetky dvojice $(a,b)$, pre ktoré nastáva aspoň v jednej nerovnosti rovnosť.

Uvažujme šachovnicu o rozmeroch $k \times l$, kde $k$ a $l$ sú kladné celé čísla: 

1. Dokážte, že ak $k,l \geq 2$ a $kl$ je deliteľné 8, potom vieme šachovnicu pokryť kockami v tvare domina $2 \times 1$ tak, aby bol počet vodorovne uložených kociek rovný počtu zvislo uložených kociek.
2. Dokážte tvrdenie aj opačným smerom, a teda, že ak vieme šachovnicu pokryť vyššie zmieneným spôsobom, potom musí platiť $k,l \geq 2$ a zároveň $kl$ je deliteľné 8.

Lienka sedí na čísle 0 na číselnej osi. Každú sekundu sa pohne doľava alebo doprava o vzdialenosť $2^{x-1}$, kde $x$ označuje, koľko sekúnd ubehlo od začiatku (teda po prvej sekunde sa pohne o 1, po druhej o 2, po tretej o 4, ...).

1. Na ktoré čísla $n$ na číselnej osi vie lienka stúpiť?
2. Pre ktoré čísla $n$ na číselnej osi platí, že existuje nekonečne veľa rôznych ciest (postupností pohybov lienky), ktorými sa lienka vie dostať na číslo $n$?

Majme trojuholník $ABC$. Na strane $AB$ zvoľme bod $X$ rôzny od $A$ a $B$. Priesečník dotyčnice v bode $X$ ku kružnici opísanej trojuholníku $XBC$ so stranou $AC$ označme $K$ a priesečník dotyčnice v bode $X$ ku kružnici opísanej trojuholníku $AXC$ so stranou $BC$ označme $L$. Dokážte, že $AB$ je rovnobežná s $KL$.

Existujú tri celé kladné čísla $a$, $b$, $c$ také, že $a$ a $b$ majú práve 800 spoločných deliteľov, $a$ a $c$ majú práve 960 spoločných deliteľov a $a$, $b$ a $c$ majú práve 420 spoločných deliteľov?

47. ročník - zimný semester

1. séria

1. ÚLOHA

2. ÚLOHA

3. ÚLOHA

4. ÚLOHA

5. ÚLOHA

6. ÚLOHA