2. séria

Majme kladné celé čísla $a$, $b$, $c$, pre ktoré platí, že $a^3+b^3+c^3$ je deliteľné 18-timi. Dokážte, že $abc$ je deliteľné 6-timi.

Nech $ABCD$ je štvorec so stranou dlhou 1. Mimo neho majme body $E$ a $F$ také, že trojuholník $CED$ je rovnostranný a trojuholník $CFD$ je rovnoramenný s uhlami veľkosti 45 stupňov pri základni $CD$. Označme priesečník úsečiek $CF$ a $BE$ ako $G$ a priesečník úsečiek $CD$ a $BE$ ako $H$.

Miesta pri okrúhlom stole sú očíslované zaradom od 1 po $n$ tak, že 1 susedí na jednej strane s 2 a na druhej s $n$. K stolu si postupne príde sadnúť $n$ ľudí, pričom každý má priradené iné miesto. Na začiatku si však človek s miestom 1 sadol na ľubovoľné (nie nutne iné) miesto. Každý ďalší človek si už sadne na svoje miesto, prípadne na ľubovoľné najbližšie voľné miesto po obvode stola, ak je jeho miesto už obsadené. Na ktorých miestach môže sedieť človek s miestom $n$, ak zvyšní ľudia prichádzajú

Máme mriežku $7\times 7$, ktorá má vyrezané všetky štyri rohové políčka.

Dokážte, že pre každé celé číslo $n\ge 2$ a kladné reálne čísla $x_1,x_2,\dots ,x_n$ platí

Neprázdna množina $M\subseteq \mathbb{Z}$ je Mihálova, ak spĺňa podmienku: Ak $x,y\in M$ (aj pre $x=y$), potom aj $x^2+zxy+y^2\in M$ pre všetky $z\in \mathbb{Z}$. Nájdite všetky dvojice nenulových celých čísel $m,n$ (vrátane prípadov $m=n$) také, že jediná Mihálova množina obsahujúca aj $m$ aj $n$ je $\mathbb{Z}$.