1. séria

Vo vrcholoch $40$-uholníka sú ľubovoľne vpísané čísla od $1$ do $40$, každé práve raz. Koľko najviac z nich môže byť deliteľných svojím susedom v smere hodinových ručičiek?

Nájdite všetky reálne čísla $a$, pre ktoré: $a^{2024}-2a^{2023}+2a^{2022}-2a^{2021}+\cdots +2a^2-2a+1=0.$

V lichobežníku $ABCD$ je strana $AB$ rovnobežná so stranou $CD$ a pri vrcholoch $A$ a $D$ sú pravé uhly. Na úsečke $BC$ vyznačíme bod $E$ tak, aby platilo $|CE|=|EB|=|AB|$. Dokážte, že veľkosť uhla $BED$ je trojnásobkom veľkosti uhla $CDE$.

Alica a Beáta hrajú hru. Na začiatku hry je na stole $n\ge 2$ kamienkov a v prvom ťahu si zo stola Alica vezme nejaký počet kamienkov (ale nie všetky). Následne sa striedajú v ťahoch, pričom vždy môže hráč zobrať len počet kamienkov, ktorý je menší alebo rovný počtu kamienkov, ktoré zobral hráč pred ním. Hru vyhráva hráč, ktorý zo stola zoberie posledný kamienok. V závislosti od $n$ určte, ktorý hráč má víťaznú stratégiu.

$64$ škriatkov sa hrá so šachovnicou $64\times 64$ políčok. Postupne si vyberajú po jednom políčku, až kým nie sú rozdelené všetky políčka (teda na konci má každý z nich vybraných presne $64$ políčok). Dokážte, že bez ohľadu na to, ako si škriatkovia políčka vyberajú, vždy bude existovať riadok alebo stĺpec, v ktorom bude mať aspoň $8$ rôznych hráčov po aspoň jednom políčku.

Majme trojuholník $ABC$. Na strane $AC$ je bod $D$ a os uhla $BAC$ pretína úsečku $BD$ v bode $X$ a úsečku $BC$ v bode $Y$ tak, že platí $AX:XY=3:1$ a $BX:XD=5:3$. Určte veľkosť uhla $ACB$ pomocou veľkosti uhla $BAC$.