Okolo okrúhleho stola sedí $2n$ Grékov, z toho polovica Sparťania a polovica Aténčania. Koľko najviac Grékov v závislosti od $n$ môže sedieť vedľa Aténčana?

Series sa hrá s konečnými postupnosťami kladných celých čísel, a to tak, že do nich na ľubovoľné miesto vkladá alebo z ľubovoľného miesta odoberá dve zhodné susediace podpostupnosti. Napríklad z (5, 4) vie vyrobiť (5, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4) a naopak, alebo z (1) vie vyrobiť (1, 1, 1, 1, 1) a naopak. Dokážte, že Series vie z ľubovoľnej konečnej postupnosti spraviť rastúcu.

Prístav je tvaru štvorca $ABCD$. Lumomoros chce postaviť maják v bode $M$ a to tak, aby existoval rovnoramenný pravouhlý trojuholník $AMN$ s pravým uhlom pri vrchole $M$ a bod $N$ ležal na strane $CD$. Nájdite množinu všetkých možných polôh majáku a dokážte, že pre každý bod nájdenej množiny taký trojuholník existuje.

Series má postupnosť reálnych čísel $\{a_n\}_1^\infty$ takú, že $a_1=3$ a $a_{n+1} = a_n(a_n-1) +1$ pre všetky kladné celé čísla $n$. Dokážte, že
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2026^{2026}} < \sum^{2026}_{i=1} \frac{1}{a_i} < \frac{1}{2}.\]

Sparťania majú na mape zvolených 2026 bodov. Zistili, že keď zvolia ľubovoľných 17, je medzi nimi 11 bodov takých, že ich vedia zakryť kruhom s priemerom 1. Aténčania si priniesli kruhy s priemerom 2. Nájdite najmenší počet aténskych kruhov, ktorý vždy stačí na pokrytie všetkých 2026 bodov.

Funkciotos sa hrá s funkciou $f(x)=x^2 - 33x + 19$. Nájdite všetky celé čísla $n \ge 2$, pre ktoré práve jedno z čísel $f(1),f(2),\dots,f(n)$ je deliteľné číslom $n$.

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

Nech prvých $5$ členov postupnosti je $1, 2, 3, 4$ a $5$. Od šiesteho člena ďalej platí, že každý člen postupnosti sa rovná súčinu všetkých predchádzajúcich členov mínus $1$. Dokážte, že súčin prvých $70$ členov postupnosti sa rovná súčtu ich druhých mocnín.

Paťo má na tabuli napísané všetky celé čísla od $1$ do $N$. V jednom kroku zmaže jedno číslo na tabuli a spolu s ním zmaže aj všetky jeho delitele, ktoré boli na tabuli, a napíše všetky jeho kladné delitele, ktoré na tabuli neboli. Napríklad, ak sú na tabuli čísla $1$, $2$, $5$ a $6$, tak po zmazaní $6$ budú na tabuli $3$ a $5$. 
1. Dokážte, že pre ľubovoľné $N$ sa Paťo vie dostať do stavu, keď na tabuli nebude napísané žiadne číslo.Dokážte, že bez ohľadu na $N$ a na to, ako si Paťo čísla vyberá, vždy v konečnom počte krokov dôjde do stavu, keď na tabuli nebude napísané žiadne číslo.

Na začiatku hry máme $3$ krabice, v ktorých je postupne $2023, 2024$ a $2025$ kameňov. Anna a Boris sa striedajú v ťahoch, Anna začína. Ten, kto je na ťahu si vyberie $2$ krabice, odstráni z nich všetky kamene a potom rozdelí kamene z tretej krabice do všetkých troch krabíc:
1. rovnomerne (tak, aby rozdiel počtov kameňov v rôznych krabiciach bol najviac $1$)ľubovoľne
tak, aby žiadna krabica nebola prázdna. Keď hráč nemôže uskutočniť platný ťah, prehral. Ktorý z hráčov má víťaznú stratégiu a akú?

Nech $O$ je stred opísanej kružnice trojuholníka $ABC$. Opíšme bodom $AOB$ kružnicu $k$. Nech je druhý prienik priamky $AC$ s $k$ bod $P$ a druhý prienik priamky $CB$ s $k$ $Q$ tak, že body $P$ a $Q$ ležia mimo trojuholníka $ABC$. Dokážte, že priamka $CO$ je kolmá na priamku $PQ$.

Nájdite všetky kvadratické funkcie $f$, pre ktoré existujú celé čísla $m$, $n$ také, že:
$$f(m)=f(6m-1),$$
$$f(n)=f(3-15n).$$

Majme postupnosť reálnych čísel, pre ktorú platí, že $a_0=1$ a 
\[a_{n+1}=\frac{7a_n+\sqrt{45{a_n}^2-36}}{2}\]
pre každé nezáporné celé číslo $n$. Dokážte, že každý člen tejto postupnosti je kladné celé číslo.

48. ročník - letný semester

2. séria

1. ÚLOHA

2. ÚLOHA

3. ÚLOHA

4. ÚLOHA

5. ÚLOHA

6. ÚLOHA