Okolo okrúhleho stola sedí $2n$ Grékov, z toho polovica Sparťania a polovica Aténčania. Koľko najviac Grékov v závislosti od $n$ môže sedieť vedľa Aténčana?

Series sa hrá s konečnými postupnosťami kladných celých čísel, a to tak, že do nich na ľubovoľné miesto vkladá alebo z ľubovoľného miesta odoberá dve zhodné susediace podpostupnosti. Napríklad z (5, 4) vie vyrobiť (5, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4) a naopak, alebo z (1) vie vyrobiť (1, 1, 1, 1, 1) a naopak. Dokážte, že Series vie z ľubovoľnej konečnej postupnosti spraviť rastúcu.

Prístav je tvaru štvorca $ABCD$. Lumomoros chce postaviť maják v bode $M$ a to tak, aby existoval rovnoramenný pravouhlý trojuholník $AMN$ s pravým uhlom pri vrchole $M$ a bod $N$ ležal na strane $CD$. Nájdite množinu všetkých možných polôh majáku a dokážte, že pre každý bod nájdenej množiny taký trojuholník existuje.

Series má postupnosť reálnych čísel $\{a_n\}_1^\infty$ takú, že $a_1=3$ a $a_{n+1} = a_n(a_n-1) +1$ pre všetky kladné celé čísla $n$. Dokážte, že
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2026^{2026}} < \sum^{2026}_{i=1} \frac{1}{a_i} < \frac{1}{2}.\]

Sparťania majú na mape zvolených 2026 bodov. Zistili, že keď zvolia ľubovoľných 17, je medzi nimi 11 bodov takých, že ich vedia zakryť kruhom s priemerom 1. Aténčania si priniesli kruhy s priemerom 2. Nájdite najmenší počet aténskych kruhov, ktorý vždy stačí na pokrytie všetkých 2026 bodov.

Funkciotos sa hrá s funkciou $f(x)=x^2 - 33x + 19$. Nájdite všetky celé čísla $n \ge 2$, pre ktoré práve jedno z čísel $f(1),f(2),\dots,f(n)$ je deliteľné číslom $n$.

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

Martin si myslí číslo. Mihálovi prezradil, že má práve $4$ deliteľov. Potom sa ho Mihál opýtal, aká je jeho posledná cifra. Martin mu odpovedal: "To ti nemôžem povedať, pretože by si už vedel, aké je to číslo." Aké číslo si Martin myslí? Nájdite všetky možnosti.

V ostrouhlom trojuholníku $ABC$ má strana $AC$ dĺžku $4$. Kružnica opísaná tomuto trojuholníku má priemer $8$.
1. Označme $D$ priesečník dotyčníc k opísanej kružnici v bodoch $A$ a $C$. Aké hodnoty môže nadobúdať veľkosť uhla $ADC$?
2. Aké hodnoty môže nadobúdať veľkosť uhla $ABC$?

Existuje päť rôznych kladných celých čísel, pre ktoré platí, že súčet ľubovoľnej trojice z nich je deliteľný súčtom zvyšnej dvojice?

Adam a Bruno hrajú hru. Majú napísaných $n\geq 12$ za sebou idúcich prirodzených čísel. Začína Adam, v ťahoch sa striedajú a v každom ťahu jeden z nich škrtne jedno číslo, až kým neostanú napísané posledné dve čísla. Ak najväčší spoločný deliteľ týchto dvoch čísel je $1$, vyhrá Adam, inak vyhrá Bruno. 
1. Kto má víťaznú stratégiu, ak $n$ je párne?Kto má víťaznú stratégiu, ak $n$ je nepárne?

Sú dané kladné reálne čísla $a_1$, $a_2$, $\dots a_n$ také, že: 
$$a_1\leq a_2\leq \dots\leq a_n\leq n\cdot a_1.$$
Určte, pre ktoré $n$ vieme z každej takejto $n$-tice vybrať tri čísla $a_i \leq a_j \leq a_k$, pre ktoré platí:
$$a_i^2 + a_j^2 > a_k^2.$$

Majme kváder s nepárnymi celočíselnými rozmermi rozdelený na menšie kvádre s celočíselnými rozmermi. Dokážte, že medzi týmito menšími kvádrami existuje kváder, ktorého vzdialenosti od stien veľkého kvádra:

1. majú párny súčet
2. sú všetky párne alebo dve párne a štyri nepárne.

48. ročník - zimný semester

1. séria

1. ÚLOHA

2. ÚLOHA

3. ÚLOHA

4. ÚLOHA

5. ÚLOHA

6. ÚLOHA