2. séria

Rozhodnite, či existujú navzájom rôzne prvočísla $p_1$, $p_2$, $\dots p_n$ také, že: $\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\cdots +\frac{1}{p_n}=1.$

Majme trojuholník $ABC$ so stranou $AB$ dlhou $8$ a uhlom oproti tejto strane veľkosti $120$ stupňov. Označme $p$ a $q$ dotyčnice ku kružnici opísanej tomuto trojuholníku v bodoch $A$ a $B$. Majme kružnicu $k$, ktorá sa dotýka naraz úsečky $AB$ a priamok $p$ a $q$. Označme $D$ priesečník $p$ a $q$ a $E$ bod dotyku $p$ a $k$. Aká môže byť vzdialenosť $DE$? Nájdite všetky možnosti.

V rade stojí $a+b$ misiek očíslovaných od $1$ po $a+b$, kde $a$, $b$ sú kladné celé čísla. V prvých $a$ miskách je po jednom citróne a v posledných $b$ miskách je po jednej limetke. V jednom ťahu vieme presunúť citrón z misky $i$ do $i+1$ a limetku z $j$ do $j-1$, ak rozdiel $|i-j|$ je párny. V jednej miske môže byť naraz aj viac citrusov. Chceme dostať postupom týchto krokov limetky do prvých $b$ misiek a citróny do posledných $a$ misiek (do každej jeden citrus). Pre aké $a$, $b$ je to možné?

Na chodbe sa rozbil kvetináč. Spýtali sme sa dvoch najbližších tried, kto rozbil kvetináč. Každý žiak obvinil práve jedného žiaka z tej druhej triedy. Dokážte, že vieme dať maslo na hlavu niektorým žiakom tak, že ak sa spýtame všetkých žiakov s maslom na hlave, povedia dokopy práve mená všetkých žiakov bez masla na hlave.

Predĺženie ťažnice z $A$ v trojuholníku $ABC$ pretne opísanú kružnicu v $D$ rôznom od $A$, predĺženie ťažnice z $B$ ju pretne v $E$ rôznom od $B$. $F$ a $G$ delia strany $a$ a $b$ v tomto poradí v pomere $2:1$ tak, že kratšie úseky sú priľahlé k $C$. Dokážte, že uhly $AGE$ a $BFD$ sú zhodné.

Majme celé číslo $c$ a polynóm $P(x)$ stupňa $n$, ktorého koeficienty sú celé čísla. Označme $D$ najväčšie celé číslo, pre ktoré platí, že $D$ delí $P(i)$ pre každé celé číslo $i$. Dokážte, že potom $D$ je najväčší spoločný deliteľ čísel $P(c)$, $P(c+1)$, $\dots$ $P(c+n)$.