1. séria

Kladné celé číslo voláme Mihálovo, ak každá dvojica susedných cifier je deliteľná buď číslom $19$, alebo $21$ (napríklad $7638$ je Mihálovo číslo, lebo $76$ je násobok čísla $19$, $63$ je násobok čísla $21$ a $38$ je násobok čísla $19$). Koľko $2025$-ciferných Mihálových čísel existuje?

Majme kladné celé čísla $1<x_1<x_2<x_3<\cdots <x_{2025}$. Pre $i\in \{1,2,\dots ,2025\}$ definujme

Najviac koľko z čísel $m_1$, $m_2$, $m_3$, $\dots$, $m_{2025}$ môže byť celých?

V pravouhlom trojuholníku $ABC$ je $Q$ päta výšky z vrcholu $C$ na preponu $AB$. Polomery kružníc vpísaných do trojuholníkov $ABC$, $AQC$ a $QBC$ označme zaradom $r$, $r_1$, $r_2$. Dokážte, že $|CQ|=r_1+r_2+r$.

Nech $k$ je kružnica s celočíselným polomerom $r$, vo vnútri ktorej sa nachádza $4r$ úsečiek dĺžky $1$. Daná je priamka $p$. Dokážte, že existuje priamka $p^{\prime }$ rovnobežná s $p$ alebo kolmá na $p$ taká, že $p^{\prime }$ pretína aspoň $2$ z daných úsečiek dĺžky $1$.

Nájdite všetky usporiadané desatice reálnych čísel $(x_1,\dots ,x_{10})$ také, že

pre všetky $i\in \{1,\dots ,10\}$.

Majme nekonečnú štvorcovú mriežku s $n$ zafarbenými políčkami. V každom kroku sa pre každé políčko pozrieme na farbu samotného políčka, políčka hneď hore a políčka hneď vpravo. Ak sú aspoň dve z týchto troch políčok zafarbené, v ďalšom kroku bude toto políčko zafarbené, inak biele. Ukážte, že mriežka bude celá biela