1. séria

Majme dve periodické postupnosti s periódami 7 a 13 (perióda $p$ postupnosti $a_1$, $a_2$, $\dots$ je najmenšie $p$, pre ktoré platí $a_n=a_{n+p}$ pre všetky kladné celé $n$). Akú najväčšiu dĺžku môže mať začiatočný úsek, v ktorom sa budú obe postupnosti zhodovať?

Nech $PQRS$ je štvoruholník, ktorého uhlopriečky sa pretínajú v jeho vnútornom bode $X$. Ukážte, že strany $PQ$ a $RS$ majú rovnakú dĺžku práve vtedy, keď majú kružnice opísané trojuholníkom $PQX$ a $RSX$ rovnaký polomer.

Na stole je $7$ kôpok po $2024$ kameňov. Bia a Šmili hrajú hru, pričom Bia začína. Každý ťah si hráč vyberie jednu kôpku a zvyšné kôpky vyhodí z hry. Potom túto zvolenú kôpku rozdelí na $2$ až $7$ neprázdnych kôpok. Hráč prehráva, ak nevie spraviť ťah. Má niektorý z hráčov víťaznú stratégiu? Ak nie, prečo? Ak áno, akú?

Majme postupnosť celých čísel $1$ až $2024$ v neznámom poradí. V každom kroku vezmeme $k$ prvých členov, kde $k$ je prvý člen postupnosti, a obrátime im poradie. Dokážte, že po niekoľkých operáciách sa na prvé miesto dostane číslo $1$.

Nájdite všetky funkcie $f$ na kladných reálnych číslach také, že pre každé kladné reálne $a$, $b$, $c$, $d$ spĺňajúce $abcd=1$ platí

Nech $ABC$ je ostrouhlý trojuholník, kde $AB$ je najmenšia strana a $D$ je stred $AB$. Nech $P$ je bod vo vnútri trojuholníka $ABC$ taký, že $|\angle CAP|=|\angle CBP|=|\angle ACB|$. Z bodu $P$ veďme kolmé čiary na $BC$ a $AC$, priesečník s $BC$ označme $M$ a priesečník s $AC$ označme $N$. Cez bod $M$ veďme priamku rovnobežnú s $AC$ a cez bod $N$ priamku rovnobežnú s $BC$. Tieto priamky sa pretínajú v bode $K$. Dokážte, že $D$ je stred kružnice opísanej trojuholníku $MNK$.