Okolo okrúhleho stola sedí $2n$ Grékov, z toho polovica Sparťania a polovica Aténčania. Koľko najviac Grékov v závislosti od $n$ môže sedieť vedľa Aténčana?

Series sa hrá s konečnými postupnosťami kladných celých čísel, a to tak, že do nich na ľubovoľné miesto vkladá alebo z ľubovoľného miesta odoberá dve zhodné susediace podpostupnosti. Napríklad z (5, 4) vie vyrobiť (5, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4) a naopak, alebo z (1) vie vyrobiť (1, 1, 1, 1, 1) a naopak. Dokážte, že Series vie z ľubovoľnej konečnej postupnosti spraviť rastúcu.

Prístav je tvaru štvorca $ABCD$. Lumomoros chce postaviť maják v bode $M$ a to tak, aby existoval rovnoramenný pravouhlý trojuholník $AMN$ s pravým uhlom pri vrchole $M$ a bod $N$ ležal na strane $CD$. Nájdite množinu všetkých možných polôh majáku a dokážte, že pre každý bod nájdenej množiny taký trojuholník existuje.

Series má postupnosť reálnych čísel $\{a_n\}_1^\infty$ takú, že $a_1=3$ a $a_{n+1} = a_n(a_n-1) +1$ pre všetky kladné celé čísla $n$. Dokážte, že
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2026^{2026}} < \sum^{2026}_{i=1} \frac{1}{a_i} < \frac{1}{2}.\]

Sparťania majú na mape zvolených 2026 bodov. Zistili, že keď zvolia ľubovoľných 17, je medzi nimi 11 bodov takých, že ich vedia zakryť kruhom s priemerom 1. Aténčania si priniesli kruhy s priemerom 2. Nájdite najmenší počet aténskych kruhov, ktorý vždy stačí na pokrytie všetkých 2026 bodov.

Funkciotos sa hrá s funkciou $f(x)=x^2 - 33x + 19$. Nájdite všetky celé čísla $n \ge 2$, pre ktoré práve jedno z čísel $f(1),f(2),\dots,f(n)$ je deliteľné číslom $n$.

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

Číslo nazývame $k$-rásne, ak ho vieme zapísať ako súčet $k$ po sebe idúcich kladných celých čísel (napríklad číslo 9 je 2-rásne, pretože $9=4+5$, a zároveň je 3-rásne, pretože $9=2+3+4$).
1. Koľko čísel z množiny $\{1,2,3, \dots ,2024\}$ je naraz 3-rásnych, 4-rásnych a 5-rásnych?
2. Existujú nejaké kladné celé čísla, ktoré sú naraz 3-rásne, 4-rásne, 5-rásne a 6-rásne?

Majme postupnosť kladných celých čísel $a_1 < a_2 < a_3 < \dots $ Pre všetky kladné celé $k$ platí $a_{a_k} = 3k$. 
1. Určte $a_{1000}$.
2. Určte $a_{2024}$.

Nech $S$ je podmnožina množiny $M=\{1, 2, \dots ,100\}$. Dokážte, že v $S$ existujú tri rôzne dvojice čísel s rovnakým rozdielom, ak $S$ má
1. 21 prvkov,
2. 20 prvkov,
3. 19 prvkov.

Nech $D$, $E$ sú body na strane $AB$ trojuholníka $ABC$ také, že \[\frac{|AD|\cdot|AE|}{|BD|\cdot|BE|} = \left(\frac{|AC|}{|BC|}\right)^2.\] Ukážte, že uhly $ACD$ a $BCE$ sú zhodné.

Nájdite všetky prvočísla $p$, pre ktoré existuje kladné celé číslo $a$ také, že platí
\[
\left\lfloor \frac{a}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2a}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{3a}{p} \right\rfloor + \dots  + \left\lfloor \frac{pa}{p} \right\rfloor = 2024.
\]
Pozn.: Hodnota $\left\lfloor x \right\rfloor$ sa rovná najväčšiemu celému číslu, ktoré nie je väčšie ako $x$.

Postupnosť reálnych čísel $(a_k)_{k=1}^{\infty}$ spĺňa
$
a_1 = \frac{1}{2},\ a_{k+1} = -a_k + \frac{1}{2-a_k}
$
pre všetky kladné celé čísla $k$. Dokážte, že pre všetky kladné celé čísla $n$ platí

\[
\left(\frac{n}{2(a_1+a_2+\dots+a_n)}-1\right)^n \le \left(\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\right)^n\left(\frac{1}{a_1}-1\right)\left(\frac{1}{a_2}-1\right)\dots\left(\frac{1}{a_n}-1\right).
\]


49. ročník - zimný semester

2. séria

1. ÚLOHA

2. ÚLOHA

3. ÚLOHA

4. ÚLOHA

5. ÚLOHA

6. ÚLOHA